%%f\left(x\right)=\dfrac{x^2}{x+1}%%

Verhalten der Funktion für %%x\rightarrow -\infty%% bzw. %%x\rightarrow +\infty%%

Zur Fragestellung von dieser Aufgabe

"Bestimme das Verhalten der Funktion %%f%% für %%x\rightarrow -\infty%%" heißt:

Gesucht ist

  • der Grenzwert, an den sich die Funktionswerte von %%f%% annähern,
  • wenn der %%x%%-Wert gegen %%-\infty%% geht.

also der %%\underset{x\rightarrow-\infty}\lim f(x)%%.

Entsprechend gilt:
"Bestimme das Verhalten der Funktion %%f%% für %%x\rightarrow +\infty%%" heißt:

Gesucht ist der %%\underset{x\rightarrow+\infty}\lim f(x)%%.

Allgemeine Informationen und Erklärungen zum Thema Grenzwert findest du im Artikel Grenzwertbetrachtung.

%%\underset{x\rightarrow-\infty}\lim f(x)=\ ?%%

Setze %%f\left(x\right)=\dfrac{x^2}{x+1}%% ein.

%%\underset{x\rightarrow-\infty}\lim f(x)=\underset{x\rightarrow-\infty}\lim \dfrac{x^2}{x+1}=\ ?%%

Entsprechend natürlich auch:

%%\underset{x\rightarrow+\infty}\lim f(x)=\underset{x\rightarrow+\infty}\lim \dfrac{x^2}{x+1}=\ ?%%

Zählergrad und Nennergrad betrachten (hier nicht unbedingt erforderlich, nur zum Überblick)

Betrachte %%f%%:

%%\Rightarrow%% Zählergrad = 2, Nennergrad = 1

und damit ist der Zählergrad ("ZG") größer als der Nennergrad ("NG").

%%f(x)%% kann daher im Unendlichen nur gegen %%+\infty%% oder %%-\infty%% gehen, nicht aber gegen irgendeine reelle Zahl.

ZG > NG %%\ \Rightarrow%% %%\underset{x\rightarrow-\infty}\lim f(x)=\infty%% oder %%\underset{x\rightarrow-\infty}\lim f(x)=- \infty%%

Genauso gilt:
ZG > NG %%\ \Rightarrow%% %%\underset{x\rightarrow +\infty}\lim f(x)=\infty%% oder %%\underset{x\rightarrow +\infty}\lim f(x)=- \infty%%

ABER:

Ob %%\underset{x\rightarrow-\infty}\lim f(x)=\infty%% oder %%\underset{x\rightarrow-\infty}\lim f(x)=- \infty%% ist, kann man auf diesem Weg nicht herausfinden.
(Entsprechendes gilt natürlich auch für %%\underset{x\rightarrow+\infty}\lim f(x)%%. )

Bei dieser Aufgabe ist es somit nicht möglich, mit der Argumentation über Zählergrad und Nennergrad bereits die beiden Grenzwerte zu ermitteln.

Anmerkung:
Allerdings kann man so erkennen, dass %%f%% keine waagrechte Asymptote hat.
Denn wenn %%f%% eine waagrechte Asymptote hätte,

  • müsste diese Asymptote eine Gleichung der Form %%y=a%% für eine reelle Zahl %%a%% haben,
  • und es müsste %%\underset{x\rightarrow-\infty}\lim f(x)=a%% oder %%\underset{x\rightarrow+\infty}\lim f(x)=a%% sein.

%%f%% hat aber eine schräge Asymptote, denn es gilt: ZG = NG+1.

Berechnung von %%\underset{x\rightarrow-\infty}\lim \dfrac{x^2}{x+1}%% und %%\underset{x\rightarrow+\infty}\lim \dfrac{x^2}{x+1}%%

Zur Berechnung der Grenzwerte kann man auf verschiedene Arten vorgehen:

  • Methode 1: Ausklammern und Kürzen der höchsten %%x%%-Potenz des Nenners
  • Methode 2: Polynomdivision
  • Methode 3: Anwenden der Regel von L'Hospital
Lösung durch Ausklammern und Kürzen der höchsten %%x%%-Potenz des Nenners

%%\underset{x\rightarrow-\infty}\lim \dfrac{x^2}{x+1}=%%

Die höchste %%x%%-Potenz des Nenners ist %%x%%.

Klammere daher %%x%% im Zähler und im Nenner aus, und verwende dazu, wo es erforderlich ist, Brüche.

%%=\underset{x\rightarrow-\infty}\lim \dfrac{x\cdot x}{x\cdot (1+\frac{1}{x})}=%%

Kürze %%x%% weg.

%%=\underset{x\rightarrow-\infty}\lim \dfrac{x}{1+\frac{1}{x}}\ =%%

Da sich %%\frac{1}{x}%% für %%x\rightarrow -\infty%% an %%0%% annähert,

ist %%\dfrac{x}{1+\frac{1}{x}}\approx \dfrac{x}{1}%% für %%x\rightarrow -\infty%%.

Daher brauchst du das %%\frac{1}{x}%% bei der Grenzwertbildung nicht mehr zu berücksichtigen.

%%=\underset{x\rightarrow-\infty}\lim \dfrac{x}{1}\ =%%

Bilde nun den Grenzwert gegen %%-\infty%%.

$$=-\infty$$

Ebenso führt man die Rechnung für %%\underset{x\rightarrow+\infty}\lim \dfrac{x^2}{x+1}%% durch:

%%\underset{x\rightarrow+\infty}\lim \dfrac{x^2}{x+1}=\ ….\ =\underset{x\rightarrow+\infty}\lim \dfrac{x}{1}%%

$$\Rightarrow\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^2}{x+1}=+\infty$$

Ergebnisse:

%%\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^2}{x+1}=-\infty%%

%%\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^2}{x+1}=+\infty%%

Lösung mit Polynomdivision

hier noch nicht ausgeführt; in Arbeit bzw. mit der Bitte an die Community, diese Variante hier noch zu ergänzen

Lösung mit Regel von L'Hospital

hier noch nicht ausgeführt; in Arbeit bzw. mit der Bitte an die Community, diese Variante hier noch zu ergänzen