Betrachte Teilaufgabe %%e)%%.
Begründe, warum die anderen beiden Antworten nicht richtig sein können!

Begründung der Lösung

Die Lösungen

%%I \; \; \;\; \; h_2(t) = \dfrac{1,5e^{t+k}}{e^{t+k}+15}%%

und

%%II \; \; \;\; \;h_2(t)=\dfrac{1,5e^t}{e^t+15}\cdot k%%

aus Aufgabe %%e)%% sind falsch.

Du sollst begründen, warum diese Lösungen nicht den geschilderten Sachkontext erfüllen können.

Betrachte dazu nochmal die Aussage, dass der Anfangswert der ursprünglichen Funktion %%h(t)%% auch der Anfangswert der Funktion %%h_2(t)%% ist.
Wichtig ist noch, dass dieser Anfangswert %%h(0) = h_2(0) \ne 0%%. Das weißt du aus Aufgabe %%a)%% oder kannst es aus der Zeichnung auslesen.

Betrachte zunächst %%I%% und setze %%t=0%% ein.

$$h_2(0) = \dfrac{1,5e^{0+k}}{e^{0+k}+15} = \dfrac{1,5e^k}{e^k +15}$$

Das sollte nun gleich %%h(0)%% sein.

%%h(0) = \dfrac{1,5e^0}{e^0+15}=\dfrac{1,5}{16}%%

Auf dieses Ergebnis kommt man mit %%h_2%% aber nur, wenn %%k=0%%.

%%h_2(t) = \dfrac{1,5e^{t+0}}{e^{t+0}+15} = \dfrac{1,5e^t}{e^t+15}%%

Somit kann %%I%% keine Lösung des Problems sein, da es mit %%k=0%% dieselbe Funktion wie %%h(t)%% ist.

Betrachte nun %%II%% und setze %%t=0%% ein.

%%h_2(0)=\dfrac{1,5e^0}{e^0+15}\cdot k = h(0) \cdot k%%

Für den ersten Teil dieses Terms kann man %%h(0)%% einsetzen, da dies genau diesen Bruch ergibt.
Da jetzt aber %%h_2(0) = h(0)%% sein soll, müsste %%k%% genau %%1%% sein.

Wenn das so ist, erhältst du wie bei %%I%% wiederum genau %%h_2(t) = h(t)%%, was das Problem nicht löst.

Aus diesem Grund muss die dritte Möglichkeit die Lösung des Problems sein.

%%h_2(t) = \dfrac{1,5e^{kt}}{e^{kt}+15}%%

Berechne damit nun die Aufgabe %%g)%%!