%%f(x)= 3x^3-3x^2-6x%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

Ausklammern & Mitternachtsformel

Um diese Aufgabe lösen zu können, brauchst du Wissen über das Ausklammern und die Mitternachtsformel.

Löse die Erste Nullstelle:

%%f(x)=3x^3−3x^2−6x%%

Klammere %%x%% aus (kleinster vorkommender Exponent von %%x%%).

%%f(x)=x\cdot(3x^2-3x-6)%%

Die Nullstellen bestimmst du, indem du den Funktionsterm null setzt.

%%0=x\cdot(3x^2-3x-6)%%

Merke: Ein Produkt ist immer dann null, wenn einer seiner Faktoren null ist!

Setze jeden Faktor gleich null!

%%x=0%%
%%\Rightarrow x_1=0%%

Löse die zweite und dritte Nullstelle:

%%f(x)=3x^2-3x-6%%

Setze den Term in die Mitternachtsformel ein.

%%x_2,_3=\dfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot3\cdot(-6)}}{2\cdot3}%%

Löse den Inhalt der Diskriminante.

%%x_2,_3=\dfrac{3\pm\sqrt{81}}{6}%%

Löse die Diskrimininante auf!

%%x_2=\frac{3+9}{6}%%
%%x_2=\frac{12}{6}%%

%%x_2=2%%

Löse den Term auf um %%x_2%% zu berechnen.

%%x_3=\frac{3-9}{6}%%
%%x_3=\frac{-6}{6}%%
%%x_3=-1%%

Löse den Term auf um %%x_3%% zu berechnen.

Ergebnis:

Die Funktion hat die folgenden Nullstellen: %%x_1=0%%, %%x_2=2%% und %%x_3=-1%%.