%%\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}3\\7\\3\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}6\\9\\-12\end{pmatrix}%%         und         %%\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}9\\14\\4\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-8\\-12\\16\end{pmatrix}%%

%%\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}3\\7\\3\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}6\\9\\-12\end{pmatrix}%%     %%\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}9\\14\\4\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-8\\-12\\16\end{pmatrix}%%

Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.

%%\begin{pmatrix}6\\9\\-12\end{pmatrix}=\lambda\cdot\begin{pmatrix}-8\\-12\\16\end{pmatrix}%%

Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das %%\lambda%%.

%%\begin{array}{|rcr}6=-8\lambda &\rightarrow &\lambda = -0,75 \\ 9=-12 \lambda &\rightarrow &\lambda = -0,75 \\ -12 = 16 \lambda &\rightarrow &\lambda = -0,75 \end{array}%%

Da alle %%\lambda%% den selben Wert haben sind die Vektoren linear abhängig.

%%\Rightarrow\;%% linear abhängig

 

%%\Rightarrow\;%% Nun weißt du, dass die beiden Geraden identisch oder parallel sind.

Einsetzen

Ortsvektor von g: %%\begin{pmatrix}3\\7\\3\end{pmatrix}%%

%%\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}9\\14\\4\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-8\\-12\\16\end{pmatrix}%%

Setze nun einen Punkt der ersten Gerade in die Gleichung der zweiten Gerade ein.

Meist wird dafür der Ortsvektor genommen.

%%\begin{pmatrix}3\\7\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9\\14\\4\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-8\\-12\\16\end{pmatrix}%%

Schreibe dies wieder aus und berechne für jede Zeile das t.

%%\left|\begin{array}{r}3=9-8\mathrm t\\7=14-12\mathrm t\\3=4+16\mathrm t\end{array}\begin{array}{r}\rightarrow\\\rightarrow\\\rightarrow\end{array}\begin{array}{l}\mathrm t=0,75\\\mathrm t=0,5833\\\mathrm t=-0,0625\end{array}\right.%%

Da jeder Wert von t unterschiedlich ist, ist der Ortsvektor von g  nicht auf der Gerade h.

Also können die beiden Geraden nur noch parallel sein.

%%\Rightarrow\;\;%% %%\mathrm h\parallel\mathrm g%%