Tangentialebene an eine Kugel

Eine Tangentialebene ist eine Ebene, die eine Kugel in einem Punkt "berührt". Die Kugel und die Tangentialebene haben genau diesen Punkt gemeinsam. Der gemeinsame Punkt heißt Berührpunkt und wird hier mit $B$ bezeichnet. $E_T$ ist die Bezeichnung für die Tangentialebene.

Der Vektor $\overrightarrow{MB}$ vom Mittelpunkt der Kugel $M$ zum Berührpunkt $B$ ist der Normalenvektor der Tangentialebene $E_T$ , d.h. er steht senkrecht auf ihr.

Der Vektor $\overrightarrow{BX}$ zeigt vom Berührpunkt $B$ zu einem beliebigen Punkt $X$ in der Ebene $E_T$ .

Der Vektor $\overrightarrow{BX}$ steht senkrecht auf dem Vektor $\overrightarrow{MB}$ , d.h. $\overrightarrow{MX}\circ \overrightarrow{MB}=0$ .

Schreibt man die beiden Verbindungsvektoren als Differenz, so erhält man für die Tangentialebene $E_T$ die Gleichung $E_T:\ \left(\vec{x}-\vec{b}\right)\circ\left(\vec{b}-\vec{m}\right)=0$

Die Gleichung einer Tangentialebene $E_T$ an eine Kugel $K$ mit dem Mittelpunkt $M$ , dem Radius $r$ und einem Punkt $B$ auf der Kugel lautet:

$E_T:\ \left(\vec x-\vec b\right)\circ \left(\vec b-\vec m\right)=0$

Musterbeispiel

Gegeben sind von einer Kugel $K$ der Kugelmittelpunkt $\textcolor{ff6600}{ M(1|2|2)}$ und der Kugelradius $r=6$ . Wie lautet die Gleichung einer Tangentialebene $E_T$ in Koordinatenform, die die Kugel im Punkt $\textcolor{660099}{B(3|6|6)}$ berührt?

Lösung:

Setze in die Tangentialebenengleichung für den Vektor $\vec b$ die Koordinaten des Berührpunktes $B$ und für $\vec m$ die Koordinaten des Mittelpunktes $M$ ein. Der Vektor $\vec x$ bleibt dabei als Variable erhalten. (Der Kugelradius spielt bei der Lösung dieser Aufgabe keine Rolle!)

$\displaystyle E_T:\ \left(\vec{x}-\vec{\textcolor{660099}{b}}\right)\circ\left(\vec{\textcolor{660099}{b}}-\vec{\textcolor{ff6600}{m}}\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Setze $\textcolor{660099}{B}$ und $\textcolor{ff6600}{M}$ ein.
$\displaystyle \left(\vec x-\textcolor{660099}{ \begin{pmatrix}3\\6\\6\end{pmatrix}}\right)\circ \left(\textcolor{660099}{ \begin{pmatrix}3\\6\\6\end{pmatrix}}-\textcolor{ff6600}{ \begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}}\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \left(\vec x-\textcolor{660099}{ \begin{pmatrix}3\\6\\6\end{pmatrix}}\right)\circ \begin{pmatrix}2\\4\\4\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Diese Gleichung ist die Normalengleichung der Ebene.
$\displaystyle \left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}3\\6\\6\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}2\\4\\4\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \begin{pmatrix}x_1-3\\x_2-6\\x_3-6\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}2\\4\\4\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Um die Koordinatengleichung zu erhalten, rechne das Skalarprodukt aus.
$\displaystyle (x_1-3)\cdot2+(x_2-6)\cdot4+(x_3-6)\cdot4$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Löse die Klammern auf.
$\displaystyle 2x_1-6+4x_2-24+4x_3-24$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle 2x_1+4x_2+4x_3-54$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle :2$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle x_1+2x_2+2x_3-27$	$=$	$\displaystyle 0$

Antwort: Die Gleichung der Tangentialebene lautet

$E_T:\ x_1+2x_2+2x_3=27$ .

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