Zu article Primzahlen:
IvanP 2019-07-27 21:58:08+0200
Das würde ich entfernen: „Ein System, welche Zahlen Primzahlen sind, wurde bisher noch nicht gefunden.“

Welche Zahlen Primzahlen sind, ist klar definiert, und es lässt sich auch jede Primzahl ermitteln (etwa mit dem Sieb des Eratosthenes), von dem her gibt es ja schon ein „System“. Siehe auch: http://recursed.blogspot.com/2013/01/no-formula-for-prime-numbers.html

Den Unendlichkeitsbeweis hat Euklid übrigens in etwas anderer Form geführt; er zeigte, dass zu einer vorgelegten endlichen Menge von Primzahlen eine weitere existiert – das steht natürlich im Widerspruch dazu, dass sie alle Primzahlen enthält, allerdings formulierte er das nicht als Annahme. Siehe: https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIX/propIX20.html

Auch interessant: https://web.archive.org/web/20190505034040/http://math.andrej.com/2010/03/29/proof-of-negation-and-proof-by-contradiction/
Renate 2019-07-29 21:18:13+0200
Hallo IvanP,

im ersten Augenblick habe ich dir völlig zugestimmt und konnte mir nicht einmal recht erklären, wie dieser Satz in den Artikel hineingekommen ist - zumal ja unten dann der Abschnitt "Verfahren zur Überprüfung, ob eine Zahl Primzahl ist" folgt! ;)


Aber inzwischen glaube ich, dass der Satz anders gemeint ist (und zugegebenermaßen ungeschickt bis unverständlich formuliert wurde).

Ich denke, dass der Autor / die Autorin ausdrücken wollte:
Die Primzahlen sind innerhalb der natürlichen Zahlen in ungleichmäßigen Abständen verteilt, und man hat bislang kein System gefunden, dem diese Verteilung folgt.

Man kann also, wenn man eine Primzahl gefunden hat, nicht ausrechnen, wann die nächste Primzahl kommt.

(Sicher ist allerdings, DASS irgendwann wieder eine Primzahl kommt, und zwar spätestens dann, wenn die im Beweis von Euklid angegebene Zahl erreicht ist.)


Wie stehst du zu diesen Überlegungen? Würde das so Sinn ergeben?

Viele Grüße
Renate

PS: Vielen Dank auch für die Angabe der Links, auf die du in deinem Kommentar verweist! Ich konnte mich (aus privaten Gründen) leider im Augenblick nur eher kurz und nicht (oder noch nicht) umfassend damit beschäftigen - und wollte dich auf der anderen Seite auch nicht noch länger auf eine Antwort warten lassen! :)
IvanP 2019-07-30 07:12:21+0200
Hallo Renate, du schreibst: „Man kann also, wenn man eine Primzahl gefunden hat, nicht ausrechnen, wann die nächste Primzahl kommt.“

Das Problem ist, dass unklar ist, was hier mit „ausrechnen“ gemeint ist, die Anwendung eines Primzahltests auf die natürlichen Zahlen ab 2 ist eben auch ein Ausrechnen, auch wenn das normalerweise nicht in Form einer Formel notiert wird. Und was als Formel notiert werden kann, ist eine Sache des Zeichenrepertoires, man könnte etwa schlicht „%%\mathrm p_n%%“ als Term für die %%n%%-te Primzahl verwenden. Du meinst, hier irgendeinen fundamentalen Unterschied zu erkennen, aber der müsste konkret benannt werden – und selbst das wäre in einer Einführung für Schüler vielleicht eher überflüssig –, so ist das zu schwammig oder ein Produkt der Einbildung.
ZenGorilla 2020-01-27 15:47:08+0100
Ich habe mal versucht, für das "System" eine passendere Formulierung zu finden. Wenn ich Zeit finde, könnte ich den zusätzlichen Unendlichkeitsbeweis noch einfügen, falls das gewünscht ist.
IvanP 2020-01-28 07:53:27+0100
Dasselbe in Grün Die Definition der Primzahlen bestimmt deren Anordnung, das ist dann die Regelmäßigkeit, was gibt es also konkret zu finden? Siehe aber den eingangs erwähnten Blogpost, da wird tatsächlich ein offenes Problem formuliert. http://recursed.blogspot.com/2013/01/no-formula-for-prime-numbers.html
IvanP 2020-01-28 07:54:12+0100
*Grün.
ZenGorilla 2020-01-28 13:34:36+0100
Die Definition der Primzahlen bestimmt deren Eigenschaften. Ich bin jetzt kein Mathe-Profi, aber eine kurze Google-Suche ergab, dass man zwar 2016 eine mögliche Regel für die Anordnung der Primzahlen auf dem Zahlenstrahl gefunden hat, diese aber noch nicht bewiesen ist. Das wie gesagt, ohne Gewähr, weil ich ein Laie bin und die Erkenntnis nur von Google stammt. Das die Primzahlen Regeln unterliegen und berechenbar sind, hat damit meiner Ansicht nach nichts zu tun.
IvanP 2020-01-29 00:34:01+0100
Es gibt mehrere offene Probleme, zum Beispiel: Liegt für jede positive ganze Zahl $n$ eine Primzahl zwischen $n^2$ und $(n+1)^2$? Die Äußerung, es sei keine „Regelmäßigkeit“ bekannt, ergibt für mich jedoch keinen rechten Sinn.
IvanP 2020-01-29 00:40:46+0100
(Jetzt aber:) Es gibt mehrere offene Probleme, zum Beispiel: Liegt für jede positive ganze Zahl %%n%% eine Primzahl zwischen %%n^2%% und %%(n+1)^2%%? Die Äußerung, es sei keine „Regelmäßigkeit“ bekannt, ergibt für mich jedoch keinen rechten Sinn.
ZenGorilla 2020-01-29 07:25:04+0100
Da das ja auch eine Seite für lernende ist, macht die Aufnahme von offenen Problemen keinen Sinn. Ich denke es geht darum, zu erklären, dass die Primzahlen auf den ersten Blick zufällig über den Zahlenstrahl verteilt scheinen. Aller Wahrscheinlichkeit nach ist das natürlich nicht so, aber eine endgültige Regel (z.B. die Möglichkeit, von einer Primzahl direkt auf die nächste zu schließen) wurde denke ich noch nicht bewiesen. Klar kann ich die folgenden Zahlen mittels Primzahlentests überprüfen. Aber das ist ja eher ausprobieren als berechnen.
IvanP 2020-01-29 11:08:46+0100
Man könnte mit einem Augenzwinkern so etwas aufnehmen wie das hier: It is evident that the primes are randomly distributed but, unfortunately, we don’t know what ‘random’ means.

Ich würde aber nicht schwammige Begrifflichkeiten verwenden (du grenzt hier zum Beispiel das „Ausprobieren“ vom Berechnen ab) und dabei so tun, als seien sie mathematisch klar definiert.
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