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Es ist folgende Funktionenschar gegeben:

fk(x)=ekx,kRf_k\left(x\right)= e^{-\sqrt{kx}}, k\in\mathbb{R}

In den Teilaufgaben findest du vieles, das du für diese Funktion berechnen kannst.

Suche dir heraus, was du üben möchtest.

Die Teilaufgaben sind in einer logischen Reihenfolge angeordnet, daher wird in späteren Aufgaben auf Ergebnisse von früher zurückgegriffen.

Wenn dir nicht klar ist, woher diese Ergebnisse kommen, dann rechne am besten die zugehörige Teilaufgabe davor nach.

  1. Definitionsbereich bestimmen

  2. Grenzwertbetrachtungen: Bestimme die Grenzwerte an allen Grenzen des Definitionsbereichs.

  3. Asymptoten bestimmen

  4. Nullstellen bestimmen

  5. Symmetrieverhalten überprüfen

  6. Monotonieverhalten bestimmen

  7. Krümmungsverhalten bestimmen

  8. Extremwerte bestimmen

  9. Wertebereich bestimmen

  10. Tangente bestimmen:

    Bestimme die Tangente an den Funktionsgraphen von fk(x)f_k(x), die  für k<0k < 0 auch durch den Punkt P1(10)P_1(-1|0) geht und für k>0k > 0 durch den Punkt P2(10)P_2(1|0).

  11. Stammfunktion I:

    Zeige, dass

    Fk(x)=2ekx(kx+1)k\displaystyle{F}_ k\left( x\right)=-\frac{2\cdot e^{-\sqrt{kx}}\left(\sqrt{kx}+1\right)}{\mathrm k}

    eine Stammfunktion von fk(x)f_k(x) für k0k\neq 0 ist.

  12. Stammfunktion II:

    Bestimme durch Rechnung die Stammfunktion von fkf_k .

     

    Achtung, diese Integration ist etwas schwieriger und erfordert mehr Überlegungen und Rechenschritte, als in der Schule normalerweise verlangt werden. Wer allerdings ein paar Tricks beim Integrieren ausprobieren/lernen will kann die Aufgabe gerne bearbeiten oder sich die Lösung anschauen.

    Für alle Anderen reicht es, die Aufgabe "Stammfunktion I" zu bearbeiten, die normalem Schulniveau entspricht.

  13. Flächenberechnung I:

    Berechne die Fläche, die der Funktionsgraph mit den Koordinatenachsen einschließt.

  14. Flächenberechnung II:

    Berechne die Fläche die von der x-Achse, den Geraden x=1,x=1x=-1, x=1 und dem Graphen von f1(x)f_1(|x|) eingeschlossen wird.

  15. Graphen zeichnen:

    Zeichne folgende Graphen für k=±3k= \pm 3 in ein oder mehrere Koordinatensysteme:

    Gf{\mathrm G}_ f mit seinen Asymptoten Gf,GF\mathrm G_{f'}, G_F und GTG_T