Aufgaben zu Kugeln, Ebenen und Tangentialebenen

Gegeben sind eine Kugel $K$ mit dem Mittelpunkt  $\mathrm{M}(8|8|6)$  und dem Radius  $\mathrm r=7$  sowie eine Ebene  $\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}3\\5\\3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}$.

1) Zeige, dass die Ebene $E$ und die Kugel $K$ mehr als einen Punkt gemeinsam haben und berechne den Mittelpunkt $M'$ und den Radius  ${\mathrm r_1'}$ des Schnittkreises.

2) Berechne anschließend  $\mathrm z>8$  so, dass  $\mathrm{P}(6|\mathrm{z}|2)$  auf der Kugeloberfläche liegt.

3) Ermittle die Gleichung der Tangentialebene $T$, welche die Kugel $K$ im Punkt $P$ berührt, in der Koordinatenform.

4) Bestimme die Gleichung einer zu $T$ parallelen Ebene in Koordinatenform, deren Schnittkreis mit der Kugel den Radius  $\mathrm r_2'=3$  hat.

Gegeben ist die Kugel K mit der Gleichung  $\mathrm K:\;\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}\right]\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}\right]=36$  und die Ebene  ${\mathrm E}_1:\;4{\mathrm x}_1+4{\mathrm x}_2+2{\mathrm x}_3=-22$ .

1) Zeige, dass  ${\mathrm E}_1$  Tangentialebene an $K$ ist und berechne den Berührpunkt $B$.

2) Durch  ${\mathrm F}_\mathrm a:\;2\cdot{\mathrm x}_1+4\cdot{\mathrm x}_2+6\cdot{\mathrm x}_3=\mathrm a$  wird eine Ebenenschar bestimmt. Berechne für welche Parameterwerte die Kugel $K$ und die Ebene  ${\mathrm F}_\mathrm a$

gemeinsame Punkte haben. Bestimme für welche Werte von $a$ ein Schnittkreis mit Radius $\mathrm r=2{,}2$  entsteht und berechne die zugehörigen Kreismittelpunkte.

3) Der Punkt  $\mathrm A(8\vert2\vert-1)$  liegt auf $K$. Stelle die Gleichung der Tangentialebene  ${\mathrm E}_2$  in $A$ in Koordinatenform auf.

4) Die Ebenen  ${\mathrm E}_1$  und  ${\mathrm E}_2$  bilden eine Rinne für die Kugel $K$, in der diese entlang rollt. Gib eine Gleichung der Geraden $g$ an, auf der sich der Mittelpunkt $M$ der Kugel bewegt.

5) Die Ebene  ${\mathrm E}_3:\;2{\mathrm x}_2-4{\mathrm x}_3=-96$  steht senkrecht zu  ${\mathrm E}_1$  und  ${\mathrm E}_2$ . Berechne die Länge der Strecke die die Kugel $K$ vom Startpunkt aus zurücklegt, bis diese von ${\mathrm E}_3\;$gestoppt wird.

Untersuche, welche Lage die Ebene $E$ zur Kugel $K$ hat. Berechne dazu den Abstand des Kugelmittelpunktes $M$ von der Ebene $E$.

$E:\; 3x_1+4x_2+5x_3=2;\;\;M(2|1|3);\;\; r=3$

Zeige, dass die Ebene $E:\; 3x_1+x_2-2x_3=16$ eine Tangentialebene an die Kugel $K$ mit dem Mittelpunkt $M(4|0|5)$ und dem Radius $r=\sqrt{14}$ ist. Berechne auch den Berührpunkt $B$.

Eine Kugel $K$ hat den Mittelpunkt $M$ und den Radius $r=4$. Der Kugelmittelpunkt liegt auf einer Geraden mit der Gleichung $g:\: \vec X=\begin{pmatrix}2\\6\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0 \\-4 \\ 0 \end{pmatrix}$. Die Ebene $E:\; x_2=6$ berührt die Kugel $K$.

$$Bestimme die Koordinaten eines möglichen Mittelpunktes $M$ der Kugel.

Gegeben sind eine Kugel $K$ mit Mittelpunkt $M(3|-1|2)$, Radius $r=\sqrt{11}$ und eine Gerade

$g: \vec X=\begin{pmatrix}2\\0\\5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}2 \\-4 \\ -4\end{pmatrix}$.

Gegeben ist eine Kugel $K$ mit $M(-2|3|-5)$, $r=9$ und ein Punkt $B(2|2|z)$ mit $z>0$ auf der Kugel.

Berechne die Koordinate $z$ und gib die Gleichung der Tangentialebene $E_T$ im Punkt $B$ an.

Gegeben ist eine Kugel $K:\;(x_1-2)^2+(x_2-3)^2+(x_3-1)^2=16$.

Die Ebene $E$ enthält den Punkt $P(2|5|-3)$. Gib eine Bedingung an, so dass die Ebene $E$ eine Tangentialebene an die Kugel $K$ ist.

Die gesuchte Bedingung enthält den Normaleneinheitsvektor $\vec{n}_0$ der Ebene $E$.

Gegeben sind eine Kugel $K$ und eine Ebene $E$.

$K:\;(x_1-4)^2+(x_2-2)^2+(x_3+1)^2=16\;\text{und} \;E:\;2x_1-2x_2+x_3=u$

Bestimme den Parameter $u$ so, dass die Ebene $E$ eine Tangentialebene an die Kugel $K$ ist. Gib mögliche Berührpunkte an.