Gemischte Aufgaben - lernen mit Serlo!

Berechne die Spurpunkte der gegebenen Geraden.

$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}3\\2\\3\end{pmatrix}+\mathrm k\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}$
$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}+\mathrm k\cdot\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}$
$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-2\\4\\1\end{pmatrix}+\mathrm k\cdot\begin{pmatrix}-2\\-1\\3\end{pmatrix}$
$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}+\mathrm k\cdot\begin{pmatrix}1\\-4\\2\end{pmatrix}$
$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-3\\2\\5\end{pmatrix}+\mathrm k\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}$
$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+\mathrm k\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$

Bestimme den Umfang des Dreiecks.
Handelt es sich um ein besonderes Dreieck (Mehrfachauswahl möglich)?
- Das Dreieck ist rechtwinklig
- Das Dreieck ist gleichseitig
- Das Dreieck ist gleichschenklig
- Nein, es ist kein besonderes Dreieck

3

Ein Wandergebiet ist von vielen Wanderwegen durchzogen. Legt man dieses Wandergebiet in ein Koordinatensystem, so kann man seine Zielposition mithilfe von Vektorketten berechnen.

Du beginnst eine Wanderung an einem Parkplatz, der ausgehend vom Ursprung die Koordinaten $P(1|-2|0{,}5)$ hat. Danach bewegst du dich 2,7 km entlang eines Weges, der durch den Vektor $\vec{w_1} = \begin{pmatrix} 8\\4\\1\end{pmatrix}$ ausgedrückt wird, bevor du vorzeitig auf einen anderen Weg $\vec{w_2} = \begin{pmatrix} -11\\-10\\2\end{pmatrix}$ abbiegst und diesem 1,5 km folgst. Danach steigst du in eine Talbahn und fährst 1,8 km einen Weg entlang, der im Koordinatensystem durch $\vec{w_3} = \begin{pmatrix} 1\\8\\-4\end{pmatrix}$ beschrieben wird, bevor du an einer Zwischenstation aussteigst.

Bestimme die Koordinaten des Berggasthofes $B$ , bei dem du deine Wanderung beendest.
Bei Wanderungen gibt man häufig an, wie viele Höhenmeter es nach oben $(\nearrow ... m)$ beziehungsweise nach unten $(\swarrow ... m)$ geht. Wie ist es bei dieser Wanderung?
Wie würdest du die Schwierigkeit der Wanderung einschätzen?
Stelle die durchlaufene Wanderung in einem geeigneten Koordinatensystem dar.

4

Überlege und begründe, ob die vier Ebenen ein Volumen einschließen, und berechne dieses gegebenenfalls.

$E_{1}:\;\dfrac{1}{\sqrt{14}}\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\right]=0$
$E_{2}:\;\dfrac{1}{\sqrt{14}}\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}\right]=0$
$E_{3}:\;\dfrac{1}{\sqrt{101}}\begin{pmatrix}6\\7\\4\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}\right]=0$
$E_{4}:\;\dfrac{1}{\sqrt{14}}\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\right]=0$
$E_{1}:\;\frac{1}{\sqrt{14}}\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\right]=0$
$E_{2}:\;\frac{1}{\sqrt{14}}\begin{pmatrix}-1\\2\\3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\right]=0$
$E_{3}:\;\frac{1}{\sqrt{14}}\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\right]=0$
$E_{4}:\;\frac{1}{\sqrt{14}}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\right]=0$
$E_{1}:\;\frac{1}{\sqrt{14}}\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\right]=0$
$E_{2}:\;\frac{1}{\sqrt{14}}\begin{pmatrix}-1\\2\\3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}\right]=0$
$E_{3}:\;\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}7\\8\\9\end{pmatrix}\right]=0$
$E_{4}:\;\frac{1}{\sqrt{14}}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\right]=0$
$E_{1}:\;\frac{1}{\sqrt{14}}\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\right]=0$
$E_{2}:\;\frac{1}{\sqrt{14}}\begin{pmatrix}-1\\2\\3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}\right]=0$
$E_{3}:\;\frac{1}{\sqrt{14}}\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}7\\8\\9\end{pmatrix}\right]=0$
$E_{4}:\;\frac{1}{\sqrt{14}}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\right]=0$

5

Gegeben sind die Punkte $A(6|0|3)$ , $B(6|4|0)$ und $C(0|6|1{,}5)$ .

Zeige, dass die drei Punkte $A$ , $B$ , und $C$ nicht auf einer Geraden liegen.
Bestimme eine Parametergleichung der Ebene, die durch die Punkte $A$ , $B$ , und $C$ verläuft.
Wandle die Parameterform der Ebene $E_{ABC}$ in eine Koordinatenform um.
Bestimme die Gleichung einer Geraden $h$ , die die Ebene $E_{ABC}$ senkrecht schneidet (Lotgerade).

6

Gegeben sind die Eckpunkte einer Pyramide $A(0|0|0)$ , $B(6|0|0)$ , $C(6|6|0)$ , $D(0|6|0)$ , $S(3|3|12)$ und die Gleichung einer Ebene $K:\; 2x_2+4{,}5x_3=20$ . Die Pyramide wird von der Ebene $K$ geschnitten.

Zeige, dass die Schnittfläche zwischen Pyramide und Ebene ein gleichschenkliges (symmetrisches) Trapez ist.
Berechne den Flächeninhalt des Trapezes.