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Zahlensysteme

Zahlensysteme sind Systeme zur Darstellung von Zahlen. Eine Zahl wird dabei nach syntaktischen Regeln als Folge von Ziffern dargestellt.

Geschichte

Bevor es Zahlen gab, notierte man Anzahlen durch verschiedene Symbole. Um z.B. 5 Schafe aufzuschreiben notierte man also 5 Striche oder auch Punkte.

Quelle: Commons.Wikimedia.org

Je größer die Zahlen werden, umso unübersichtlicher wird dieses System. Außerdem hat es noch andere Grenzen. Es ist z.B. nicht möglich oder sehr umständlich, negative Zahlen oder Anteile (z.B. Brüche) darzustellen.

Die ältesten Funde von eingekerbten Knochen und Hölzern die möglicherweise als Zählhilfe dienten, werden auf ein Alter von ca. 30.000 Jahren geschätzt. [1]

Eine um 1650 v. Chr. erstellte Papyrusschrift, das vermutlich älteste bekannte Mathe-Buch der Welt, enthält Musteraufgaben und Lösungen in Altägyptische Zahl-Hieroglyphen.

Die Babylonier hingegen arbeiteten mit Keilschrift-Zahlen. Es wurden bereits Tafeln aus einer Zeit um 2000 v. Chr. gefunden.

Bild: Quelle Privat

Römische Zahlen sind eine Darstellungsmethode von Zahlen durch lateinische Buchstaben. Sie wurde im antiken Rom verwendet und findet sich teilweise auch heute noch, beispielsweise als Ziffern im Uhrenkranz. In der heutigen Zeit ist die Darstellung mit lateinischen Großbuchstaben üblich. Prinzipiell ergeben die Summe der einzelnen Zeichen den Wert (V(5)+I(1))=6. Auf Uhrzifferblättern wird die Zahl 9 aber oft nach der Subtraktionsregel also als IX geschrieben.

Quelle Bild: Privat

Die heute gebräuchlichen arabischen Ziffern sind von den Arabern aus ursprünglich indischen zehn Zahlzeichen übernommen und setzten sich gegen die römischen Ziffern in Deutschland erst im 15. Jahrhundert durch. Damit hielt auch der Wert Null (0) als gleichwertige Ziffer Einzug in die arabischen Zahlen, der mittlerweile Grundlage moderner Zahlensysteme und der Informatik ist.

Arten von Zahlensystemen

Prinzipiell unterscheidet man heutzutage zwischen drei unterschiedlichen Arten von Zahlensystemen:

Beim den wohl populärsten Zahlensystemen, den

handelt es sich um Systeme, die nach dem Bündelungsprinzip funktionieren. Jeder Stelle einer Zahl wird dabei ein Wert zugeordnet. Die in der Mathematik sowie der Informatik wohl meist verbreitetsten Stellenwertsysteme sind das Dezimalsystem, das Hexadezimalsystem, das Oktalsystem und natürlich das Binärsystem.

Zur anschaulichen Dartstellung der Codierung von Werten im Binärsystem hier ein Lochstreifen Beispiel:

Bsp. Lochstreifen (Hier: Hello World! codiert)

Diese Art der Speicherung von Daten war bis Ende der 1980'ziger Jahre in der Informationsverarbeitung durchaus verbreitet. Im Beispiel ist die Zeichenkette:

Hello World!

codiert. Details zum Lesen bzw. zum Decodieren des Streifens findest Du im Artikel Binärsystem.

Bei den, auch in der heutigen Zeit durchaus nicht unüblichen Zahlensystemen, den

wird der Wert einer Zahl durch Addieren ihrer Ziffern errechnet. Einfache Beispiele hierfür sind die Strichliste oder auch die Römischen Zahlen. 

Bei der dritten und somit letzten Kategorie unserer Aufzählung der Zahlensysteme, den

wird eine Grundziffer einem Zeichen vorangestellt, das eine Potenz der Basis wiedergibt. Die Werte beider werden miteinander multipliziert. In den europäischen Zahlensystemen kamen solche Hybridsysteme so gut wie nicht vor, wohl aber in Mesopotamien, später auch in China und im Nahen Osten.

Hier ein Beispiel der Darstellung von Zahlen in einem Hybriden Zahlensystem. Links, die Zahl, die dargestellt werden soll, in der Mitte die Notation in einem Hybridsystem und in den Klammern rechts, der Weg der Ermittlung des Wertes.

Bsp. Hybrides Zahlensystem

Quelle Bild : Wikipedia

Fazit

Auch wenn ein Grossteil der hier vorgestellten Einblicke in die Basics unserer Zahlensysteme klar sehr theoretisch ausfallen, muss man doch feststellen, dass diese gerade in der heutigen Zeit sehr oft mittel- oder unmittelbar direkten Einfluss auf unser tägliches Leben haben. Dies beginnt bei der Rabattschlacht an der Supermarktkasse und endet nicht zuletzt beim allabendlichen Streaming Vergnügen vor dem TV.

Übungsaufgaben

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zu Zahlensystemen

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Quellen


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