Wenn man verstehen will, wie ein Computer mit Daten umgeht, muss man das Binärsystem verstehen. Aber keine Sorge - es funktioniert eigentlich ganz ähnlich wie das Dezimalsystem, das man aus der Grundschule kennt: Beides sind radixbasierte Zahlensysteme.

Tipp: Am Ende dieses Artikels sind Übungen, um das Gelernte zu verinnerlichen.


Im Binärsystem zählen

Im Binärsystem gibt es zwei Symbole: Die 0 und die 1. Diese haben den gleichen Wert wie im Dezimalsystem.

Wenn man im Dezimalsystem zählt, erhöht man die letzte Stelle immer um 1. Wenn es nicht mehr weiter geht, weil man bei der höchsten Ziffer angekommen ist, setzt man sie auf 0 und erhöht die Ziffer davor. Wenn diese Ziffer die größtmögliche Ziffer ist - wie bei 99 - wird auch sie auf 0 gesetzt und die Ziffer davor erhöht. Und so weiter.

Im Binärsystem macht man es genauso: Nach 0 kommt 1, danach wird die 1 auf 0 gesetzt und die Stelle davor erhöht.

dezimal

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

usw.

binär

0

1

10

11

100

101

110

111

1000

1001

1010

usw.

So wie im Dezimalsystem die 10er-Potenzen (1, 10, 100, 1000, …) runde Zahlen sind, so sind im Binärsystem die 2er-Potenzen (1, 2, 4, 8, 16, 32, …) rund.

Im Binärsystem rechnen

Ein Computer muss Binärzahlen ständig addieren, subtrahieren, usw. Im Grunde funktioniert das genauso wie im Dezimalsystem:

Addition

  1 0 1 1 0 1
+     1 0 1 1
-------------

Man zählt einfach von rechts nach links die Ziffern, die in einer Spalte stehen, zusammen. 1+1 ergibt 0 mit einem Übertrag von 1:

           1 0 1 0 0 1
         +     1 0 1 1
----------------------
Übertrag     1   1 1
----------------------
Ergebnis   1 1 0 1 0 0

Subtraktion

Die Subtraktion ist genauso einfach. Hier gilt: 0–1 ergibt 1 mit Übertrag 1.

           1 0 1 0 0 1
         -     1 0 1 1
----------------------
Übertrag   1 1 1 1  
----------------------
Ergebnis     1 1 1 1 0

Zahlensysteme umrechnen

Für das Umrechnen sollte man sich immer diese Tabelle aufschreiben:

$${n}$$

$$2^{n}$$

0

1

1

2

2

4

3

8

4

16

5

32

6

64

7

128

Umrechnung: Binär in Dezimal

Angenommen, man will die binäre Zahl 10101101 in eine Dezimalzahl umwandeln. In der rechten Spalte der Tabelle steht der dezimale Wert der n-ten binären Stelle. Also nummeriert man die Stellen durch (ganz rechts ist die 0. Stelle!).

0 | 1
1 | 0
2 | 1
3 | 1
4 | 0
5 | 1
6 | 0
7 | 1

Nun addiert man die dezimalen Werte von allen Stellen, an denen eine 1 steht:

0 |   1 ×   1
1 |   0 ×   2
2 |   1 ×   4
3 |   1 ×   8
4 |   0 ×  16
5 |   1 ×  32
6 |   0 ×  64
7 |   1 × 128
    +       
    ---------
          173

Das Ergebnis ist also 1 + 4 + 8 + 32 + 128 = 173.

Umrechnung: Dezimal in Binär

Andersherum hilft einem ebenfalls die Tabelle. Angenommen, man will wissen, was 90 als Binärzahl ist.

Stellen:  7 6 5 4 3 2 1 0
          ---------------
Ergebnis: ? ? ? ? ? ? ? ?

Am einfachsten ist es, die Zahl in lauter Zweierpotenzen zu zuerlegen. Dazu schaut man, was die nächstkleinere Zahl von 90 in der Tabelle ist, das ist 64. 64 = 26, also setzt man eine 1 an Position 6 und subtrahiert 64 von 90. Es bleibt 26 übrig. Die nächstkleinere Zweierpotenz von 26 ist 16. 16 ist 24, also setzt man eine 1 an Position 4 und zieht 16 ab. Es bleit 10 übrig. Und so weiter.

Am Ende steht eine 1 an den Positionen 6, 4, 3 und 1. Alles andere sind Nullen:

Stellen:  7 6 5 4 3 2 1 0
          ---------------
Ergebnis:   1 0 1 1 0 1 0

Exkurs: Das Hexadezimalsystem

Dieser Abschnitt ist für besonders Interessierte gedacht. Er ist nicht nötig, um das Binärsystem zu verstehen.


Binärzahlen können recht lang werden. Das Hexadezimalsystem bietet eine kompaktere Darstellung, und lässt sich ganz besonders leicht vom und ins Binärsystem umrechnen.

Das Binärsystem ist zur Basis 2. Das Dezimalsystem ist zur Basis 10. Das Hexadezimalsystem ist zur Basis 16 – das heißt, hexadezimale Zahlen haben 16 verschiedene Ziffern: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Das praktische daran ist, dass 16 eine Zweierpotenz ist. Dadurch entspricht eine hexadezimale Ziffer immer genau 4 binären Ziffern:

binär

hexadezimal

dezimal

0

0

0

1

1

1

10

2

2

11

3

3

100

4

4

101

5

5

110

6

6

111

7

7

1000

8

8

1001

9

9

1010

A

10

1011

B

11

1100

C

12

1101

D

13

1110

E

14

1111

F

15

Um eine hexadezimale Zahl in binär umzuwandeln, reicht es, jede Ziffer einzeln umzuwandeln. Um z.B. hexadezimal FA6A umzuwandeln, schauen wir nach, was F, A und 6 in binär ist, und hängen es aneinander:

F => 1111
A => 1010
6 =>  110

FA6A => 1111 1010 0110 1010

Wenn eine Ziffer weniger als 4 binäre Ziffern hat, wird mit führenden Nullen auf 4 Ziffern aufgefüllt.

Umgekehrt funktioniert das genauso. Beispiel für binär 1 0010 1001 0110 1111:

   1 => 1
  10 => 2
1001 => 9
 110 => 6
1111 => F

1 0010 1001 0110 1111 => 1296F

Übungen

Hiermit kannst du selbstständig ein paar Rechnungen üben und danach das Ergebnis kontrollieren:

Addition

1011010 + 10110

Lösungsweg:

  1 0 1 1 0 1 0
+     1 0 1 1 0
  -------------
    1 1 1 1
---------------
  1 1 1 0 0 0 0

Ergebnis: 1110000

101101 + 10110

Lösungsweg:

    1 0 1 1 0 1
+     1 0 1 1 0
  -------------
  1 1 1 1  
---------------
  1 0 0 0 0 1 1

Ergebnis: 1000011

111110 + 10001

Lösungsweg:

    1 1 1 1 1 0
+     1 0 0 0 1
  -------------
  1 1      
---------------
  1 0 0 1 1 1 1

Ergebnis: 1001111

111111 + 10001

Lösungsweg:

    1 1 1 1 1 1
+     1 0 0 0 1
  -------------
  1 1 1 1 1 1
---------------
  1 0 1 0 0 0 0

Ergebnis: 1010000

Subtraktion

1011010 - 10110

Lösungsweg:

  1 0 1 1 0 1 0
-     1 0 1 1 0
  -------------
        1    
---------------
  1 0 0 0 1 0 0

Ergebnis: 1000100

101101 - 10110

Lösungsweg:

    1 0 1 1 0 1
-     1 0 1 1 0
    -----------
    1   1 1  
---------------
      1 0 1 1 1

Ergebnis: 10111

111110 - 10001

Lösungsweg:

  1 1 1 1 1 0
-   1 0 0 0 1
  -----------
          1
-------------
  1 0 1 1 0 1

Ergebnis: 101101

111111 - 10001

Lösungsweg:

    1 1 1 1 1 1
-     1 0 0 0 1
    -----------

---------------
    1 0 1 1 1 0

Ergebnis: 101110

Binär in Dezimal umrechnen

11111

Ergebnis: 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31

10101

Ergebnis: 16 + 4 + 1 = 21

101010

Ergebnis: 32 + 8 + 2 = 42

1111010

Ergebnis: 64 + 32 + 16 + 8 + 2 = 122

1100011

Ergebnis: 64 + 32 + 2 + 1 = 99

Dezimal in Binär umrechnen

50

Lösungsweg:

50 = 32 + 16 + 2 = 25 + 24 + 21.

Es steht also eine 1 an den Positionen 5, 4 und 1.

Ergebnis: 110010

60

Lösungsweg:

60 = 32 + 16 + 8 + 4 = 25 + 24 + 23 + 22.

Es steht also eine 1 an den Positionen 5, 4, 3 und 2.

Ergebnis: 111100

70

Lösungsweg:

70 = 64 + 4 + 2 = 26 + 22 + 21.

Es steht also eine 1 an den Positionen 6, 2 und 1.

Ergebnis: 1000110

100

Lösungsweg:

100 = 64 + 32 + 4 = 26 + 25 + 22.

Es steht also eine 1 an den Positionen 6, 5 und 2.

Ergebnis: 1100100

200

Lösungsweg:

200 = 128 + 64 + 8 = 27 + 26 + 23.

Es steht also eine 1 an den Positionen 7, 6 und 3.

Ergebnis: 11001000

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