B 1.0 Die Funktion f1 hat eine Gleichung der Form y=−log3(x+b)+2 mit G=R×R und b∈R. Der Graph der Funktion f1 schneidet die x-Achse im Punkt P(8∣0).
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
B 1.1 Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Funktion f1 die Gleichung y=−log3(x+1)+2 hat.
Geben Sie sodann die Definitionsmenge der Funktion f1 an und zeichnen Sie den Graphen zu f1 für x∈[−0,5;9] in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit 1cm; −2≦x≦10; −1≦y≦7
(4 Punkte)
B 1.2 Der Graph der Funktion f1 wird durch orthogonale Affinität mit der x-Achse als Affinitätsachse und dem Affinitätsmaßstab k=2 und anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor v=(10,5) auf den Graphen der Funktion f2 abgebildet.
Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion f2 die Gleichung y=−2⋅log3(x)+4,5 hat (G=R×R) und zeichnen Sie sodann den Graphen zu f2 in das Koordinatensystem zu B1.1 ein.
(4 Punkte)
B 1.3 Punkte An(x∣−log3(x+1)+2) auf dem Graphen zu f1 und Punkte Dn(x∣−2⋅log3(x)+4,5) auf dem Graphen zu f2 haben dieselbe Abszisse x und sind zusammen mit den Punkten Bn und Cn für 0<x<16,53 die Eckpunkte von Trapezen AnBnCnDn.
Es gilt: AnBn=2LE; ∢BnAnDn=90∘; ∢AnDnCn=125∘; [AnDn]∣∣[BnCn].
Zeichnen Sie die Trapeze A1B1C1D1 für x=1 und A2B2C2D2 für x=5,5 in das Koordinatensystem zu B1.1 ein.
(2 Punkte)
B 1.4 Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecken [BnCn] in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte An gilt: BnCn(x)=(log3(x2x+1)+3,90)LE.
[Teilergebnis:AnDn(x)=(log3(x2x+1)+2,5)LE]
(3 Punkte)
B 1.5 Bestätigen Sie, dass für den Flächeninhalt der Trapeze AnBnCnDn in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte An gilt: A(x)=(2⋅log3(x2x+1)+6,40)FE.
(1 Punkt)
B 1.6 Das Trapez A3B3C3D3 hat einen Flächeninhalt von 8FE.
Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des Punktes A3.