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B 1.0 Die Funktion f1f_1 hat eine Gleichung der Form y=log3(x+b)+2y=-\text{log}_3(x+b)+2 mit G=R×R\mathbb{G} = \mathbb{R} \times \mathbb{R} und bRb \in \mathbb{R}. Der Graph der Funktion f1f_1 schneidet die xx-Achse im Punkt P(80)P(8|0). Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

B 1.1 Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Funktion f1f_1 die Gleichung y=log3(x+1)+2y=-\text{log}_3(x+1)+2 hat. Geben Sie sodann die Definitionsmenge der Funktion f1f_1 an und zeichnen Sie den Graphen zu f1f_1 für x[0,5;9]x \in [-0{,}5 ; 9] in ein Koordinatensystem.

Für die Zeichnung: Längeneinheit 1cm1 \, \text{cm}; 2x10-2 \leqq x \leqq 10; 1y7-1 \leqq y \leqq 7

(4 Punkte)

B 1.2 Der Graph der Funktion f1f_1 wird durch orthogonale Affinität mit der xx-Achse als Affinitätsachse und dem Affinitätsmaßstab k=2k=2 und anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor v=(10,5)\def\arraystretch{1.25} \vec{v} =\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0{,}5 \end{array} \right) auf den Graphen der Funktion f2f_2 abgebildet.

Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion f2f_2 die Gleichung y=2log3(x)+4,5y=-2 \cdot \text{log}_3 (x) + 4{,}5 hat (G=R×R)\left( \mathbb{G} = \mathbb{R} \times \mathbb{R} \right) und zeichnen Sie sodann den Graphen zu f2f_2 in das Koordinatensystem zu B  1.1B\;1.1 ein.

(4 Punkte)

B 1.3 Punkte An(xlog3(x+1)+2)A_n (x | -\text{log}_3(x+1)+2) auf dem Graphen zu f1f_1 und Punkte Dn(x2log3(x)+4,5)D_n(x|-2 \cdot \text{log}_3(x)+4{,}5) auf dem Graphen zu f2f_2 haben dieselbe Abszisse xx und sind zusammen mit den Punkten BnB_n und CnC_n für 0<x<16,530 < x <16{,}53 die Eckpunkte von Trapezen AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n. Es gilt: AnBn=2LE\overline{A_nB_n} = 2 \, \text{LE}; BnAnDn=90\sphericalangle B_nA_nD_n = 90^{\circ}; AnDnCn=125\sphericalangle A_nD_nC_n = 125^{\circ}; [AnDn][BnCn][A_nD_n]\,||\, [B_nC_n].

Zeichnen Sie die Trapeze A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 für x=1x=1 und A2B2C2D2A_2B_2C_2D_2 für x=5,5x=5{,}5 in das Koordinatensystem zu B  1.1B\;1.1 ein.

(2 Punkte)

B 1.4 Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecken [BnCn][B_nC_n] in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte AnA_n gilt: BnCn(x)=(log3(x+1x2)+3,90)LE\overline{B_nC_n}(x)=\left( \text{log}_3 \left( \dfrac{x+1}{x^2} \right) +3{,}90 \right) \, \text{LE}.

[Teilergebnis:AnDn(x)=(log3(x+1x2)+2,5)LE]\left[ \text{Teilergebnis}: \overline{A_nD_n}(x) = \left( \text{log}_3 \left( \dfrac{x+1}{x^2} \right) +2{,}5 \right) \, \text{LE} \right]

(3 Punkte)

B 1.5 Bestätigen Sie, dass für den Flächeninhalt der Trapeze AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte AnA_n gilt: A(x)=(2log3(x+1x2)+6,40)FEA(x)=\left(2\cdot{\text{log}}_3\left(\frac{x+1}{x^2}\right)+6{,}40\right)\,\text{FE}.

(1 Punkt)

B 1.6 Das Trapez A3B3C3D3A_3B_3C_3D_3 hat einen Flächeninhalt von 8FE8 \, \text{FE}. Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des Punktes A3A_3.

(3 Punkte)