11613 Gruppierte Textaufgabe

f(x)=ln⁡(x4+5x³−5)f(x)=\ln(x^4+5x³-5)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Newton-Verfahren

f(x)=ln⁡(x4+5x3−5)f(x)=\ln(x^4+5x^3-5)
Der natürliche Logarithmus ln⁡(x)\ln(x) ist nur auf den positiven, reellen Zahlen definiert.
Um die Nullstellen der Funktion f(x)f(x) zu bestimmen macht man zuvor eine kurze Vorüberlegung.
Man betrachtet die Nullstellen des natürlichen Logarithmus und stellt folgendes fest:
Sei g(x)=ln⁡(x)g(x)=\ln(x):
g(x)=0⇔ln⁡(x)=0∣ eg(x)=0 \Leftrightarrow \ln(x)=0 \qquad \qquad \qquad\vert\ e
eln⁡(x)=e0e^{\ln(x)}=e^0 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quadUmformen.
⇒x=1\Rightarrow x=1
Man sieht, dass x=1x=1 die einzige Nullstelle von ln⁡(x)\ln(x) ist.
Um die Nullstellen von f(x)f(x) zu approximieren, kann man also die "Einsstellen" der Funktion h(x)=x4+5x3−5h(x)=x^4+5x^3-5 approximieren, d.h. man sucht die Lösung für die Gleichung h(x)=x4+5x3−5=1h(x)=x^4+5x^3-5=1.
Da das Newtonverfahren Nullstellen approximiert macht man eine kleine Umformung und erhält:
h(x)=x4+5x3−5=1∣−1h(x)=x^4+5x^3-5=1 \qquad \qquad \vert -1
x4+5x3−6=0x^4+5x^3-6=0
Wir approximieren also die Nullstellen der Funktion h~(x)=x4+5x3−6\tilde h(x)=x^4+5x^3-6 um die Nullstellen von f(x)f(x) zu finden.

Wertetabelle

%%x%%

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

%%\tilde h(x)%%

210

-6

-70

-60

-30

-10

-6

0

50

Bestimmen der Intervalle

Eine Nullstelle kann direkt aus der Tabelle abgelesen werden:
x~1=1\tilde x_1=1
Man sieht außerdem, dass die Funktion h~(x)\tilde h(x) im Intervallen ]−6;−5[]-6;-5[ ihr Vorzeichen ändert.
Daraus folgt für die Nullstellen x~2:\tilde x_{2}:
⇒x~2∈  ]−6;−5[\Rightarrow \tilde x_2\in \;]-6;-5[
Um das Intervall weiter zu verkleinern und so einen besseren Anfangswert für das Newton-Verfahren zu bekommen, berechnet man den Funktionswert der Mittelwerte der ausgewählten Intervalle:

x

-6

-5,5

-5

f(x)

210

77,1875

-6
Man sieht nun, dass die Funktion h~(x)\tilde h(x) in den Intervallen ]−5,5;−5[]-5,5;-5[ ihr Vorzeichen ändert.
Daraus folgt für die Nullstellen x~2:\tilde x_{2}:
⇒x~2∈  ]−5,5;−5[\Rightarrow \tilde x_2\in \;]-5,5;-5[

Anwenden des Newton-Verfahrens

h~(x)=x4+5x3−6\tilde h(x)=x^4+5x^3-6
h~′(x)=4x3+15x2\tilde{h}^\prime(x)=4x^3+15x^2
⇒xn+1=xn−xn4+5xn3−64xn3+15xn2\displaystyle \Rightarrow x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^4+5x_n^3-6}{4x_n^3+15x_n^2}

Bestimmen der Nullstellen

Man wählt einen beliebigen Wert x0x_0 aus dem Intervall ]−5,5;−5[]-5,5;-5[, z.B. x0=−5,25x_0=-5,25.
⇒x1=x0−x04+5x03−64x03+15x02\displaystyle \Rightarrow x_{1}=x_0-\frac{x_0^4+5x_0^3-6}{4x_0^3+15x_0^2}
Man berechnet jetzt x1x_1 mit der oben angegebenen Rekursionsformel.
=(−5,25)−(−5,25)4+5(−5,25)3−64(−5,25)3+15(−5,25)2\displaystyle =(-5,25)-\frac{(-5,25)^4+5(-5,25)^3-6}{4(-5,25)^3+15(-5,25)^2}
=−5,067531179≈−5,06753=-5,067531179\approx-5,06753
x2=x1−x14+5x13−64x13+15x12\displaystyle x_{2}=x_1-\frac{x_1^4+5x_1^3-6}{4x_1^3+15x_1^2}
Dann berechnet man x2x_2 mit dem gerade berechneten x1x_1 und der oben angegebenen Rekursionsformel.
=(−5,067531179)−(−5,067531179)4+5(−5,067531179)3−64(−5,067531179)3+15(−5,067531179)2\displaystyle =(-5,067531179)-\frac{(-5,067531179)^4+5(-5,067531179)^3-6}{4(-5,067531179)^3+15(-5,067531179)^2}
=−5,046930085≈−5,04693=-5,046930085\approx-5,04693
x3=x2−x24+5x23−64x23+15x22\displaystyle x_{3}=x_2-\frac{x_2^4+5x_2^3-6}{4x_2^3+15x_2^2}
Dann berechnet man x3x_3 mit dem gerade berechneten x2x_2 und der oben angegebenen Rekursionsformel.
=(−5,046930085)−(−5,046930085)4+5(−5,046930085)3−64(−5,046930085)3+15(−5,046930085)2\displaystyle =(-5,046930085)-\frac{(-5,046930085)^4+5(-5,046930085)^3-6}{4(-5,046930085)^3+15(-5,046930085)^2}
=−5,046680361≈−5,04668=-5,046680361\approx-5,04668
Man erkennt jetzt, dass sich die Genauigkeit der Lösung im letzten Schritt nur noch in der vierten Nachkommastelle verbessert.
Da nur eine Angabe bis auf zwei Nachkommastellen gefordert war, ist man in diesem Schritt fertig und das Ergebnis lautet:
x~2=−5,05\displaystyle \tilde x_2=-5,05
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