%%f(x)=x^3-x^2-4x+4%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%f(x)=x^3-x^2-4x+4%%

Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. %%1%% in %%f(x)%% ein.

%%f(1)=1^3-1^2-4\cdot1+4=0%%

Die Funktion %%f(x)%% hat an der Stelle %%x_1=1%% eine Nullstelle. Da %%f(1)=0%%, wissen wir, dass %%f(x)%% den dazugehörigen Linearfaktor %%(x-1)%% besitzt.

Führe nun die Polynomdivision %%f(x):(x-1)%% durch.

%%\begin{array}{-}\;\;\;(x^3-x^2-4x+4):(x-1)=x^2-4\\\underline{-(x^3-x^2)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0-4x+4\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-4x+4)\;\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}%%

Die Funktion %%f(x)%% wird dann %%0%%, sobald mindestens einer der Faktoren gleich %%0%% ist. Da die Nullstelle %%x_1=1%% bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von %%f%% bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich %%0%% setzt.

%%x^2-4=0%%

%%\vert+4% %%

%%x^2=4%%

%%x_{2,3}=\pm\sqrt4=\pm2%%

Die Funktion %%f(x)%% hat drei Nullstellen bei %%x_1=1%%, %%x_2=2%% und %%x_3=-2%%.