%%h(x)=3x^4+12x^3-33x^2-90x%%
Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.
%%h(x)=3x^4+12x^3-33x^2-90x%%
%%3x%% ausklammern.
%%h(x)=3x\cdot(x^3+4x^2-11x-30)%%
%%\Rightarrow x_1=0%%
Die Funktion %%h(x)%% wird dann %%0%%, sobald mindestens einer der Faktoren gleich %%0%% ist. Da die Nullstelle %%x_1=0%% bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von %%h%% bestimmen, indem du die Klammer gleich %%0%% setzt.
%%x^3+4x^2-11x-30=0%%
Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. %%-2%% für %%x%% ein.
%%(-2)^3+4\cdot(-2)^2-11\cdot(-2)-30=-8+16+22-30=0%%
Die Funktion %%h(x)%% hat an der Stelle %%x_2=-2%% eine Nullstelle. Da %%h(-2)=0%%, wissen wir, dass %%h(x)%% den dazugehörigen Linearfaktor %%(x+2)%% besitzt.
Führe nun die Polynomdivision %%(x^3+4x^2-11x-30):(x+2)%% durch.
%%\begin{array}{-}\;\;\;(x^3+4x^2-11x-30):(x+2)=x^2+2x-15\\\underline{-(x^3+2x^2)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2x^2-11x\\\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(2x^2+4x)\;\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-15x-30\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-15x-30)}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}%%
Setze das erhaltene Polynom gleich %%0%%.
%%x^2+2x-15=0%%
Mitternachtsformel anwenden.
%%\displaystyle x_{3,4}=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot(-15)}}{2\cdot 1}%%
Unter der Wurzel zusammenfassen.
%%\displaystyle x_{3,4}=\frac{-2\pm\sqrt{64}}{2}=\frac{-2\pm8}{2}%%
%%x_3=\dfrac{6}{2}=3%%
%%x_4=\dfrac{-10}{2}=-5%%
Fall 1: %%+%%
Fall 2: %%-%%
Die Funktion %%h(x)%% hat vier Nullstellen bei %%x_1=0%%, %%x_2=-2%%, %%x_3=3%% und %%x_4=-5%%.
