Knobelaufgaben

1

Für beliebige reelle Zahlen xx, yy definieren wir xyx\heartsuit y =x+y2=x+y^2 , also zum Beispiel 54=215\heartsuit 4 = 21.

Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

a
b
c

a11aa\heartsuit 1\geq1\heartsuit a für alle aRa\in ℝ.

d

a1<1aa\heartsuit 1<1\heartsuit a für alle aRa\in\mathbb{R}.

e

Es gibt ein aRa\in ℝ für das gilt: a11aa\heartsuit 1\geq1\heartsuit a.

f

Die Anzahl der Paare (x,y)(x,y) mit xy=10x\heartsuit y = 10, wobei x,y    N0x, y\;\in\;\mathbb{N}_0 , ist 44.

g

Die Anzahl der Paare (x,y)(x,y) mit xy=10x\heartsuit y=10, wobei x,y    N0x, y\;\in\;\mathbb{N}_0 , ist 22.

2

Was ergibt 1000000000000001299999999999999921\,000\,000\,000\,000\,001^2-999\,999\,999\,999\,999^2?

3

Du hast sechs Zahlenkärtchen, auf denen die Zahlen 0, 1, 5, 5, 8 und 8 stehen.

a

Lege mit allen Zahlenkärtchen eine möglichst große bzw. kleine Zahl.

b

Lege mit allen Zahlenkärtchen eine möglichst große gerade und ungerade bzw. kleine gerade und ungerade Zahl.

c

Im nächsten Schritt wird mit Zahlenkärtchen gearbeitet, auf denen die Zahlen 18, 4, 173, 0, 2 und 41 stehen. Wie musst du diese Zahlenkärtchen nebenein-ander legen, damit eine möglichst große und kleine Zahl entsteht.

d

Auf sechs weiteren Zahlenkärtchen stehen die Zahlen 90, 909, 99, 9, 900 und 990. Wie musst du diese Zahlenkärtchen nebeneinander legen, damit eine möglichst große und kleine Zahl entsteht.

4

Du hast sechs Zahlenkärtchen, auf denen die Zahlen 52, 9, 17, 0, 104 und 5 stehen.

Lege mit den Zahlenkärtchen eine …

a

möglichst große Zahl.

b

möglichst kleine Zahl mit allen Kärtchen.

c

gerade Zahl.

d

möglichst kleine siebenstellige Zahl.

e

möglichst große achtstellige Zahl.

f

möglichst große Zahl mit Quersumme 21.

g

möglichst kleine Zahl mit 5 Kärtchen.

h

Zahl, die möglichst nahe an 1 Million liegt (nicht alle Kärtchen müssen verwendet werden).

i

möglichst große ungerade Zahl.

5

Ein magisches Quadrat ist eine Tabelle mit 3 Spalten, 3 Reihen und 9 Einträgen, die die Ziffern 1 bis 9 enthalten, so dass die Summe der Einträge in jeder Zeile, jeder Spalte und jeder Diagonalen jeweils 15 ergibt. Die folgende Tabelle ist kein magisches Quadrat, kann aber durch Vertauschen zweier Einträge in ein solches überführt werden. Welche beiden Zahlen müssen vertauscht werden?

6

Bilde fünf Brüche, die sich nur aus den Ziffern 11 und 33 zusammensetzen und die man nicht kürzen kann.

7

Schreibe fünf Brüche hin, die sich jeweils aus drei verschiedenen Ziffern zusammensetzen, wobei ein Bruch auch aus mehr Ziffern bestehen kann, und die sich gleichzeitig zu 13\frac13 kürzen lassen.

8

Auf einem bewachten Parkplatz gelten seltsame Regeln, die bestimmen, wo ein Fahrzeug geparkt werden darf. Sie beziehen sich auf drei Arten von Information über jedes Fahrzeug: Baujahr (1996, 1989, . . . ); Farbe (rot, grün, blau); Fahrzeugtyp (Pkw, Lkw, Bus). Der Parkplatz hat drei Reihen zu je sieben Fahrzeugen wie unten skizziert. Die Regeln lauten:

  1. Busse dürfen nicht am Ende einer Reihe parken.

  2. Ein Pkw darf nicht den letzten freien Platz einer Reihe besetzen.

  3. Ein Fahrzeug darf nicht in einer Reihe parken, die schon ein anderes Fahrzeug des selben Baujahrs enthält.

  4. Ein Fahrzeug darf nicht unmittelbar neben einem anderen Fahrzeug derselben Farbe parken, es sei denn, es befindet sich zwischen zwei Fahrzeugen, die beide dieselbe Farbe haben.

 

1995 rot Pkw

**2**

**3**

1998 blau Lkw

1990 grün Bus

**6**

**7**

1989 rot Pkw

1994 blau Lkw

1995 blau Pkw

1992 grün Pkw

1991 rot Pkw

**13**

1990 rot Lkw

**15**

1972 blau Bus

**17**

1980 grün Pkw

1985 rot Lkw

1995 blau Lkw

**21**

 

  1. Auf welchen der freien Plätzen dürfen die Fahrzeuge parken?

  2.   1972, rot, Bus

  3.   1998, grün

  4. Welche Aussagen sind wahr?

  5.   Auf Platz 2 kann überhaupt kein Fahrzeug parken.

  6.   Auf Platz 2 kann nur dann ein Fahrzeug geparkt werden, wenn zuvor eines auf Platz 3 geparkt wird. 3.   Eines der bereits geparkten Fahrzeuge könnte auch auf Platz 2 gesetzt werden. 4.   Auf dem Parkplatz befinden sich nie mehr als 15 rote Fahrzeuge, auch nicht nachdem schon geparkte Fahrzeuge wieder entfernt wurden.

  7.   Auf dem Parkplatz befinden sich nie mehr als 12 rote Fahrzeuge, auch nicht nachdem schon geparkte Fahrzeuge wieder entfernt wurden.

9

Betrachte folgendes Verschlüsselungsverfahren (eine vereinfachte Version der “Playfair Cipher” von Charles Wheatstone):

Zeichen sind die Buchstaben A-Z (keine Kleinbuchstaben, Umlaute, etc.).Gegeben ist ein Schlüsselwort.In eine 5x5 Tabelle wird nun zeilenweise, beginnend links oben, das Schlüsselwort eingetragen, gefolgt von den Buchstaben des Alphabets, welche nicht im Schlüsselwort vorkommen. Der Buchstabe J wird nicht eingetragen, sodass die 25 Felder gerade ausreichen.Um ein Wort zu verschlüsseln, werden die Buchstaben des Wortes in aufeinanderfolgenden Paaren verschlüsselt. Befinden sich beide Buchstaben in derselben Spalte, so werden sie durch die beiden jeweils darunterliegenden Buchstaben verschlüsselt. Befinden sich die beiden Buchstaben in derselben Zeile, so werden sie durch die jeweils rechts danebenliegenden Buchstaben ersetzt. Andernfalls bestimmen die beiden Buchstaben schräg gegenüberliegende Ecken eines Rechtecks, die beiden anderen Ecken bilden dann die Verschlüsselung, wobei die Verschlüsselung jedes einzelnen Buchstabens in derselben Zeile wie dieser liegt.

Beachte, dass diese Vorschrift aus mehreren Gründen unvollständig ist.Das Schlüsselwort laute BART. Welche Aussagen sind wahr?

a

Die Verschlüsselung von GEIFER lautet…

b

Die Entschlüsselung von UTDUHK lautet…

c

Wörter, die ein J enthalten, lassen sich nicht verschlüsseln.

d

Manche Wörter lassen sich auf zwei Arten verschlüsseln.

e

Das Wort PUTZ lässt sich nicht verschlüsseln.

10

Dir ist eine dreistellige Zahl mit drei verschiedenen Ziffern gegeben, die alle größer als 0 sind. Du sortierst die Ziffern erst absteigend, dann aufsteigend und bildest die Differenz aus den beiden Ergebnissen. Mit dem Ergebnis wendest du das selbe Verfahren erneut an, bis die drei Ziffern des Ergebnisses die selben sind wie zuvor. Die Reihenfolge ist hierbei egal.

Wie oft musst du diese Rechnung bei jeder beliebigen "Startzahl" höchstens durchführen, bis die drei Ziffern des Ergebnisses die selben sind wie zuvor?

11

Markus hat 10 gelbe und 15 rote Gummibärchen. Sein Freund, Anton, hat 3 Mal so viele Gummibärchen und Laura hat 25 weniger als Anton. Bestimme wie viele Gummibärchen nun jeder hat.

12

Immer 6

Versuche aus je drei gleichen Ziffern durch Hinzufügen der folgenden Rechenzeichen und -operationen die 66 zu erhalten: +,  ,  ,   ⁣:,  !,    .+,\; -,\; \cdot,\; \colon,\; !,\; \surd\; .

Klammern sind auch erlaubt.

Beispiel: 2 + 2 + 2

Funktioniert das überhaupt für jede Zeile?

0   0   00 \ \ \ 0 \ \ \ 0     =6\;\;= 6

1   1   11 \ \ \ 1 \ \ \ 1     =6\;\;= 6

2   2   22 \ \ \ 2 \ \ \ 2     =6\;\;= 6

3   3   33 \ \ \ 3 \ \ \ 3     =6\;\;= 6

4   4   44 \ \ \ 4 \ \ \ 4     =6\;\;= 6

5   5   55 \ \ \ 5 \ \ \ 5     =6\;\;= 6

6   6   66 \ \ \ 6 \ \ \ 6     =6\;\;= 6

7   7   77 \ \ \ 7 \ \ \ 7     =6\;\;= 6

8   8   88 \ \ \ 8 \ \ \ 8     =6\;\;= 6

9   9   99 \ \ \ 9 \ \ \ 9     =6\;\;= 6


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