Knobelaufgaben

Aufgaben
Für beliebige reelle Zahlen xx, yy definieren wir x♡yx\heartsuit y =x+y2=x+y^2 , also zum Beispiel 5♡4=215\heartsuit 4 = 21.
Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
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6♡2=106\heartsuit2 = 10
6♡2=6+22=6+4=106\heartsuit 2=6+2^2=6+4=10
    ⇒    \;\;\Rightarrow\;\; Die Aussage ist wahr.
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6♡2=96\heartsuit 2=9
a♡1≥1♡aa\heartsuit 1\geq1\heartsuit a für alle a∈Ra\in ℝ.
Wir werden zeigen, dass die Aussage falsch ist. Dazu müssen wir mindestens eine Zahl für aa finden, so dass die Gleichung falsch ist.
a♡1≥1♡aa\heartsuit 1\geq1\heartsuit a
Schreibe das Herz wie definert um.
a+12≥1+a2a+1^2\geq1+a^2
Suche ein aa, sodass die rechte Seite größer ist als die linke Seite.
z.B. a=7a=7
7+12≥1+727+1^2\geq1+7^2
Rechne beide Seiten aus.
8≥508\geq50
Das ist eine falsche Ungleichung.
⇒\Rightarrow Diese Aussage ist falsch.

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a♡1<1♡aa\heartsuit 1<1\heartsuit a für alle a∈Ra\in\mathbb{R}.
Wir werden zeigen, dass die Aussage falsch ist. Dazu müssen wirmindestens eine Zahl für aa finden, so dass die Ungleichung falsch ist.
a♡1<1♡aa\heartsuit 1<1\heartsuit a
Schreibe das Herz wie definiert um.
a+12<1+a2   ∣−1a+1^2<1+a^{2\ \ \ }|-1 
a<a2a<a^2
Suche ein aa, so dass die rechte Seite kleiner ist als die linke Seite.
z.B. a=0,5a=0,5
0,5<0,520,5<0,5^2
Berechne 0,520,5^2
0,5<0,250,5<0,25
Diese Ungleichung ist falsch.
⇒\Rightarrow Die Aussage ist falsch.
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Es gibt ein a∈Ra\in ℝ für das gilt: a♡1≥1♡aa\heartsuit 1\geq1\heartsuit a.
a♡  1≥1♡  aa\heartsuit\;1\geq1\heartsuit\;a
Schreib das Herz wie definert um.
a+12≥1+a2∣−1a+1^2\geq1+a^2 |-1
a≥a2a\geq a^2
Suche ein aa, so dass die rechte Seite kleiner ist als die linke Seite.
z.B. a=0,5a=0,5
0,5≥0,520,5\ge 0,5^2
Rechne aus.
0,5≥0,250,5 \geq 0,25
Dies Ungleichung ist wahr, es gibt also ein aa, das die Ungleichung erfüllt.
⇒\Rightarrow Die Gesamtaussage ist wahr.
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Die Anzahl der Paare (x,y)(x,y) mit x♡y=10x\heartsuit y = 10, wobei x,y  ∈  N0x, y\;\in\;\mathbb{N}_0 , ist 44.
Suche alle Paar (x,y)(x,y), die die Gleichung erfüllen. Sind es genau 4, ist die Aussage wahr.
x♡y=10x\heartsuit y=10
Schreibe Herz wie definiert um.
x+y2=10x+y^2=10
Löse nach y²y² auf.
y2=10−xy^2=10-x
Probiere verschiedene yy aus. Dabei bietet sich die Reihenfolge 0,1,2,…0,1,2,… an.
02=0=10−x⇒x=100^2=0=10-x\Rightarrow x=10
(10,0)(10,0) ist also ein gesuchtes Paar.
12=1=10−x⇒x=91^2=1=10-x\Rightarrow x=9
(9,1)(9,1) ist das zweite Paar.
22=4=10−x⇒x=62^2=4=10-x\Rightarrow x=6
(6,2)(6,2) ist das dritte Paar.
32=9=10−x⇒x=13^2=9=10-x\Rightarrow x=1
(1,3)(1,3) ist das vierte Paar.
42=16=10−x  ⇒x=−6  ∉N04^2=16=10-x\;\Rightarrow x=-6\;\not\in\mathbb{N}_0
Für y=4y=4 und auch alle größeren yy muss xx negativ werden. Da das aber nicht erlaubt ist, gibt es genau die vier gefundenen Paare.
⇒\Rightarrow Die Aussage ist wahr.
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Die Anzahl der Paare (x,y)(x,y) mit x♡y=10x\heartsuit y=10, wobei x,y  ∈  N0x, y\;\in\;\mathbb{N}_0 , ist 22.

Diese Aussage ist falsch, denn in Teilaufgabe f) wurden schon 4 solche Paare gefunden.
Diese sind (10,0),(9,1),(2,6),(1,3)(10,0),(9,1),(2,6),(1,3).
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Was ergibt 1 000 000 000 000 0012−999 999 999 999 99921\,000\,000\,000\,000\,001^2-999\,999\,999\,999\,999^2?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln

Gesucht ist x=1 000 000 000 000 0012−999 999 999 999 9992x=1\,000\,000\,000\,000\,001^2-999\,999\,999\,999\,999^2.
Betrachte die Aufgabe genau: Du musst zwei Zahlen quadrieren und die Differenz bilden.
xx==a2−b2a^2-b^2
↓
Verwende die 3. binomische Formel.
xx==(a−b)⋅(a+b)\left(a-b\right)\cdot\left(a+b\right)
↓
Die beiden Zahlen sind jeweils um 11 größer bzw. kleiner als 101510^{15}.
xx==((1015+1)−(1015−1))((1015+1)+(1015−1))(\color{#cc0000}{(10^{15}+1)}-\color{#006400}{(10^{15}-1)})(\color{#cc0000}{(10^{15}+1)}+\color{#006400}{(10^{15}-1)})
xx==(1015+1−1015+1)⋅(1015+1+1015−1)(10^{15}+1-10^{15}+1)\cdot(10^{15}+1+10^{15}-1)
xx==2⋅2⋅10152\cdot2\cdot10^{15}
xx==4⋅1015=4 000 000 000 000 0004\cdot10^{15}=4\,000\, 000\,000\,000\,000
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Du hast sechs Zahlenkärtchen, auf denen die Zahlen 0, 1, 5, 5, 8 und 8 stehen.
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Lege mit allen Zahlenkärtchen eine möglichst große bzw. kleine Zahl.
Um eine größte oder eine kleinste Zahl zu erhalten, müssen die Ziffern nur der Größe nach sortiert werden.
Die größte Zahl ist also:
885510.\displaystyle 885510.
Wir erlauben keine Zahlen, die mit einer 0 beginnen, da man eine solche Darstellung für gewöhnlich nicht verwendet.
Eine 0 als Anfangsziffer sei nicht erlaubt. Demnach ist die kleinste Zahl:
105588.\displaystyle 105588.
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Lege mit allen Zahlenkärtchen eine möglichst große gerade und ungerade bzw. kleine gerade und ungerade Zahl.
Die Teilaufgabe a liefert bereits 2 der 4 gesuchten Zahlen.
Für eine größte ungerade Zahl, versuchen wir von der größten Zahl 885510 möglichst kleine Ziffern zu vertauschen, um die Zahl um möglichst wenig zu verkleinern. Die beiden kleinsten Ziffern 0 und 1 lösen das bereits:
885501\displaystyle 885501
Für eine kleinste Gerade Zahl, versuchen wir ähnlich wie bei der größten Zahl möglichst die Einer- oder Zehnerziffer zu vertauschen, um die Zahl um möglichst wenig zu vergrößern. Da die Zahl dabei ungerade werden soll, ist die kleinst mögliche Lösung:
105885\displaystyle 105885
Die Lösung ist also:
885510,885501,105588,105885\displaystyle 885510, 885501, 105588, 105885
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Im nächsten Schritt wird mit Zahlenkärtchen gearbeitet, auf denen die Zahlen 18, 4, 173, 0, 2 und 41 stehen. Wie musst du diese Zahlenkärtchen nebenein-ander legen, damit eine möglichst große und kleine Zahl entsteht.
Diese Aufgabe lässt sich ebenfalls sehr ähnlich wie die vorherigen Teilaufgaben lösen.
Für eine größte Zahl suchen wir die größte Anfangsziffer der Zahlenkarten, bei mehreren gleichen muss auch die zweite Ziffer möglichst groß sein , bzw. wenn das Zahlenkärtchen keine weiteren Zahlen mehr hat die größte Anfangsziffer einer noch nicht verwendeten Zahlenkarte.
Sollten auch weitere Ziffern gleich sein, werden auch noch weitere Zeiffern betrachtet.
Die größte Anfangsziffer ist die 4. Möglich wären also 4 oder 41. Da nach der 4 die nächstmögliche Ziffer wieder die 4 der 41 ist und diese größer ist als die 1 der 41 beginnen wir mit 4…
Führt man dieses System weiter erhält man [4][41][2][18][173][0]\left[4\right]\left[41\right]\left[2\right]\left[18\right]\left[173\right]\left[0\right] , also
4412181730.\displaystyle 4412181730.
Analog sucht man bei der kleinsten Zahl die kleinsten Anfangsziffern, wobei 0 nicht erlaubt sei.
Nach ähnlichem System erhält man dann:
1730182414\displaystyle 1730182414
Zahlen werden für gewöhnlich nicht mit einer 0 als Anfangsziffer dargestellt.
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Auf sechs weiteren Zahlenkärtchen stehen die Zahlen 90, 909, 99, 9, 900 und 990. Wie musst du diese Zahlenkärtchen nebeneinander legen, damit eine möglichst große und kleine Zahl entsteht.
Das System für diese Teilaufgabe ist exakt das gleiche wie bei der vorherigen Teilaufgabe.
Für eine größte Zahl suchen wir die größte Anfangsziffer der Zahlenkarten, bei mehreren gleichen muss auch die zweite Ziffer möglichst groß sein , bzw. wenn das Zahlenkärtchen keine weiteren Zahlen mehr hat, die größte Anfangsziffer einer noch nicht verwendeten Zahlenkarte. Hier sind die Ziffern nur 0 und 9, was das System vereinfacht.
Sollten auch weitere Ziffern gleich sein, werden auch noch weitere Zeiffern betrachtet.
Führt man dieses System aus erhält man:
99999090990900\displaystyle 99999090990900
Analog sucht man bei der kleinsten Zahl die kleinsten Anfangsziffern.
Nach ähnlichem System erhält man dann:
90090909990999\displaystyle 90090909990999
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Du hast sechs Zahlenkärtchen, auf denen die Zahlen 52, 9, 17, 0, 104 und 5 stehen.
Lege mit den Zahlenkärtchen eine …
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möglichst große Zahl.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Anordnung ganzer Zahlen

Für eine größte Zahl suchen wir die größte Anfangsziffer der Zahlenkarten, bei mehreren gleichen muss auch die zweite Ziffer möglichst groß sein, bzw. wenn das Zahlenkärtchen keine weiteren Zahlen mehr hat, die größte Anfangsziffer einer noch nicht verwendeten Zahlenkarte.
Sollten auch weitere Ziffern gleich sein, werden auch noch weitere Ziffern betrachtet.
Die größte Ziffer ist die 9. Also nehmen wir dieses Zahlenkärtchen. Danach ist die größte Ziffer die 5, wobei nach dem Kärtchen 5 wieder eine 5 möglich ist, die zweite Ziffer der 52 ist die 2, kleiner als 5…
Führt man dieses System weiter, erhält man  [9][5][52][17][104][0]\left[9\right]\left[5\right]\left[52\right]\left[17\right]\left[104\right]\left[0\right] , also 9552171040.
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möglichst kleine Zahl mit allen Kärtchen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Anordnung ganzer Zahlen

Das System für diese Teilaufgabe ist ähnlich dem der vorherigen Teilaufgabe.
Hier wollen wir aber eine möglichst kleine Zahl, deshalb wählen wir als Anfangsziffern auch möglichst kleine Kärtchen.
Eine 0 als Anfangsziffer wird ignoriert und sei deshalb nicht erlaubt. Also ist die kleinste Ziffer die 1. Möglich wären entweder 17 oder 104. 0 ist kleiner als 7, also beginnen wir mit 107

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gerade Zahl.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Natürliche Zahlen

Hier gibt es mehrere Lösungen.
Eine Lösung wäre 9552171040 die größte Zahl aus Teilaufgabe a).
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möglichst kleine siebenstellige Zahl.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Anordnung ganzer Zahlen


Das System für diese Teilaufgabe ist ähnlich dem der vorherigen Teilaufgabe.
Führt man dieses System aus, erhält man  [104][0][17][5]\left[104\right]\left[0\right]\left[17\right]\left[5\right] , also 1040175.
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möglichst große achtstellige Zahl.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Anordnung ganzer Zahlen

Das System für diese Teilaufgabe ist ähnlich dem der vorherigen Teilaufgaben.
Führt man dieses System aus, erhält man 95521040.
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möglichst große Zahl mit Quersumme 21.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quersumme

Die Quersumme ist die Summe aller einzelnen Ziffern, z.B. ist die Quersumme von 721 ist 7+2+1 = 9
Das System für diese Teilaufgabe ist ähnlich dem der vorherigen Teilaufgaben und wird hier nicht mehr ausführlich aufgeführt.
Es muss allerdings beachtet werde, dass die Quersumme 21 ergibt. Sollten ein oder mehrere Zahlenplättchen nicht zulässig sein, muss man von hinten her versuchen, die Zahl doch noch zulässig zu machen und die Zahl dabei um möglichst wenig zu verkleinern.
Führt man dieses System aus, erhält man 9521040, als größte Zahl mit Quersumme 9+5+2+1+0+4+0 = 21.
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möglichst kleine Zahl mit 5 Kärtchen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Anordnung ganzer Zahlen


Das System für diese Teilaufgabe ist ähnlich dem der vorherigen Teilaufgaben und wird hier nicht mehr im Detail aufgeführt.

Zuerst müssen aber die 5 Karten mit kleinsten Zahlen herausgesucht werden. Das sind  0, 5, 9, 17, 52. Die 104 ist um eine Stelle größer als alle anderen Zahlen und wird bei einer kleinsten Zahl nicht benötigt. Danach verwenden das bekannte System.
Man erhält 1705259.
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Zahl, die möglichst nahe an 1 Million liegt (nicht alle Kärtchen müssen verwendet werden).

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Anordnung ganzer Zahlen


Wir suchen eine Zahl möglichst Nahe an einer Millionen
Es gäbe zwei Möglichkeiten. Eine 6 stellige Zahl möglichst groß, oder eine 7 stellige Zahl möglichst klein.
Beide Zahlen lassen sich nach den Systemen der bisherigen Teilaufgaben leicht konstruieren, wobei d sogar genau diese Zahl ist.
Die 6 stellige Zahl ist 955217
Die 7 stellige Zahl ist die Zahl aus Teilaufgabe d: 1040175
Von beiden Zahlen, liegt die zweite Zahl näher an einer Millionen. 
Die Lösung ist also 1040175.
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möglichst große ungerade Zahl.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Natürliche Zahlen

Wir starten mit der größten Zahl aus teilaufgabe a): [9][5][52][17][104][0]\left[9\right]\left[5\right]\left[52\right]\left[17\right]\left[104\right]\left[0\right]
Wir müssen nun die Zahlenkärtchen so ändern, dass die Zahl ungerade ist und möglicht groß bleibt. Dazu schieben wir das Kärtchen am weitesten rechts mit ungerader Endziffer ans Ende und rücken die restlichen Karten nach.
Man erhält:  [9][5][52][104][0][17]\left[9\right]\left[5\right]\left[52\right]\left[104\right]\left[0\right]\left[17\right] , also 9552104017.
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Ein magisches Quadrat ist eine Tabelle mit 3 Spalten, 3 Reihen und 9 Einträgen, die die Ziffern 1 bis 9 enthalten, so dass die Summe der Einträge in jeder Zeile, jeder Spalte und jeder Diagonalen jeweils 15 ergibt. Die folgende Tabelle ist kein magisches Quadrat, kann aber durch Vertauschen zweier Einträge in ein solches überführt werden. Welche beiden Zahlen müssen vertauscht werden?
falsches magisches Zahlenquadrat (816 537 492)
Ein magisches Quadrat hat in jeder Reihe und jeder Spalte die Summe 15.
Überprüfe die einzelnen Zeilen.
Zeile 1: 8 + 1 + 6 = 15
Zeile 2: 5 + 3 + 7 = 15
Zeile 3: 4 + 9 + 2 = 15
Überprüfe die einzelnen Spalten.
Spalte 1: 8 + 5 + 4 = 17
Spalte 2: 1 + 3 + 9 = 13
Spalte 3:  6 +7 +2 = 15
Überprüfe um wie viel Zeilen oder Spalten abweichen.
Spalte 1: 2 zu viel
Spalte 2: 2 zu wenig
Überprüfe ob sich zwei Zahlen der gleichen Reihe (die Summe in den Reihen stimmt ja bereits) in Spalte 1 und 2 finden, wobei die Zahl in Spalte 1 um 2 größer sein muss als die in Spalte 2, damit die Summe wieder genau 15 ist.
3 und 5 sind die einzigen Zahlen, die vertauscht werden können, um diesen "Fehler" in Spalten 2 und 3 zu korrigieren.
Es kann auch noch gezeigt werden, dass die Diagonalensummen 8 + 5 + 2 = 6 + 5+ 4 = 15 ebenfalls genau 15 sind und es, wie nach Angabe durch tauschen von zwei Zahlen ein magisches Quadrat entsteht.
richtiges magisches Zahlenquadrat (816 357 492)
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Bilde fünf Brüche, die sich nur aus den Ziffern 11 und 33 zusammensetzen und die man nicht kürzen kann.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erweitern und Kürzen von Brüchen

Diese Aufgabe hat mehrere Lösungen. Eine davon ist hier aufgeführt.
Gesucht sind Brüche die sich nicht kürzen lassen und deren Ziffern nur 1 oder 3 sind. Brüche aus Primzahlen lassen sich nicht kürzen. Ein Ansatz wäre damit Brüche aus Primzahlen mit nur den Ziffern 11 und 33 zu bilden. Brüche bei denen eine 11 vorkommt funktionieren auch.
Primzahlen mit nur den Ziffern 11 und 33 sind beispielsweise: 3,11,13,31,113,131,…3, 11, 13, 31, 113, 131,…
Also bilde fünf (beliebige) Brüche aus diesen Primzahlen. Eine mögliche Lösung wäre also: 13,  111,311,  1113,  1113\frac13,\;\frac1{11},\frac3{11},\;\frac{11}{13},\;\frac1{113}
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Schreibe fünf Brüche hin, die sich jeweils aus drei verschiedenen Ziffern zusammensetzen, wobei ein Bruch auch aus mehr Ziffern bestehen kann, und die sich gleichzeitig zu 13\frac13 kürzen lassen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erweitern und Kürzen von Brüchen

Diese Aufgabe hat an sich mehrere Lösungen. Eine davon ist hier aufgeführt.
Da die Brüche Erweiterungen von 13\frac13 sein sollen, suchen wir Zahlen mit denen wir 13\frac13 erweitern können, sodass der entstehende Bruch aus 3 verschiedenen Ziffern besteht. Dies lässt sich sehr einfach durch Probieren lösen.
Zahlen, die das erfüllen sind beispielsweise: 4, 6, 7, 8, 9, 10,…
Eine mögliche Lösung wäre also beispielsweise: 721,  927,  1030,  412,  618\frac7{21},\;\frac9{27},\;\frac{10}{30},\;\frac4{12},\;\frac6{18}
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Auf einem bewachten Parkplatz gelten seltsame Regeln, die bestimmen, wo ein Fahrzeug geparkt werden darf. Sie beziehen sich auf drei Arten von Information über jedes Fahrzeug: Baujahr (1996, 1989, . . . ); Farbe (rot, grün, blau); Fahrzeugtyp (Pkw, Lkw, Bus). Der Parkplatz hat drei Reihen zu je sieben Fahrzeugen wie unten skizziert. Die Regeln lauten:

  1. Busse dürfen nicht am Ende einer Reihe parken.

  2. Ein Pkw darf nicht den letzten freien Platz einer Reihe besetzen.

  3. Ein Fahrzeug darf nicht in einer Reihe parken, die schon ein anderes Fahrzeug des selben Baujahrs enthält.

  4. Ein Fahrzeug darf nicht unmittelbar neben einem anderen Fahrzeug derselben Farbe parken, es sei denn, es befindet sich zwischen zwei Fahrzeugen, die beide dieselbe Farbe haben.

 

1995 rot Pkw **2** **3** 1998 blau Lkw 1990 grün Bus **6** **7**
1989 rot Pkw 1994 blau Lkw 1995 blau Pkw 1992 grün Pkw 1991 rot Pkw **13** 1990 rot Lkw
**15** 1972 blau Bus **17** 1980 grün Pkw 1985 rot Lkw 1995 blau Lkw **21**

 

  1. Auf welchen der freien Plätzen dürfen die Fahrzeuge parken?

  2.   1972, rot, Bus

  3.   1998, grün

  4. Welche Aussagen sind wahr?

  5.   Auf Platz 2 kann überhaupt kein Fahrzeug parken.

  6.   Auf Platz 2 kann nur dann ein Fahrzeug geparkt werden, wenn zuvor eines auf Platz 3 geparkt wird.
    3.   Eines der bereits geparkten Fahrzeuge könnte auch auf Platz 2 gesetzt werden.
    4.   Auf dem Parkplatz befinden sich nie mehr als 15 rote Fahrzeuge, auch nicht nachdem schon geparkte Fahrzeuge wieder entfernt wurden.

  7.   Auf dem Parkplatz befinden sich nie mehr als 12 rote Fahrzeuge, auch nicht nachdem schon geparkte Fahrzeuge wieder entfernt wurden.

Teilaufgabe a

1. 1972, rot, Bus

Platz Nr.

Darf dort parken?

Begründung?

2

nein

4) Nachbarauto ist rot.

3

ja

 

6

ja

 

7

nein

1) Würde sich am Ende der Reihe befinden.

13

ja

 

15

nein

3) Fahrzeug auf Platz 16 hat selbes Baujahr.

  • 4) Nachbarauto ist rot.

17

nein

3) Fahrzeug auf Platz 16 hat selbes Baujahr.

21

nein

1) Würde sich am Ende der Reihe befinden.

  • 3) Fahrzeug auf Platz 16 hat selbes Baujahr.

  • 4) Nachbarauto ist rot.

2. 1998, grün, Pkw

Platz Nr.

Darf dort parken?

Begründung?

2

 nein

 3) Fahrzeug auf Platz 4 hat selbes Baujahr.

3

 nein

  3) Fahrzeug auf Platz 4 hat selbes Baujahr.

6

 nein

2) Pkw wäre letzter in seiner Reihe

  • 3) Fahrzeug auf Platz 4 hat selbes Baujahr.

  • 4) Nachbarauto ist grün.

7

 nein

2) Pkw wäre letzter in seiner Reihe.

  • 3) Fahrzeug auf Platz 4 hat selbes Baujahr.

13

 ja

 

15

 ja

 

17

 nein

 4) Nachbarauto ist grün.

21

 nein

 2) Pkw wäre letzter in seiner Reihe.

 

Teilaufgabe b

  1. Unwahr. Jedes Beliebige grüne Fahrzeug, das nicht das Baujahr 1995, 1998 oder 1990 hat dürfte parken.

 

  1. Unwahr, siehe 1. Würde auf Platz 3 ein rotes Fahrzeug parken, könnten zusätzlich noch rote Fahrzeuge, die nicht das Baujahr 1995, 1998 oder 1990 haben dort parken.

 

  1. Wahr, Fahrzeuge von Platz 5, 11 und 18.

 

  1. Beim Parken müssten immer die Regel für das Parken beachtet werden, daher wäre die dichteste Möglichkeit:

Demnach könnten maximal 18 rote Fahrzeuge parken.

 

  1. nicht wahr, siehe 4.

 

Anmerkung:

mir ist nicht ganz klar, ob die Regeln nur im Moment des Parkens gelten oder ob sie auch später noch gelten müssen(betrifft b->4+5)

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Betrachte folgendes Verschlüsselungsverfahren (eine vereinfachte Version der “Playfair Cipher” von Charles Wheatstone):

Zeichen sind die Buchstaben A-Z (keine Kleinbuchstaben, Umlaute, etc.). Gegeben ist ein Schlüsselwort. In eine 5x5 Tabelle wird nun zeilenweise, beginnend links oben, das Schlüsselwort eingetragen, gefolgt von den Buchstaben des Alphabets, welche nicht im Schlüsselwort vorkommen. Der Buchstabe J wird nicht eingetragen, sodass die 25 Felder gerade ausreichen. Um ein Wort zu verschlüsseln, werden die Buchstaben des Wortes in aufeinanderfolgenden Paaren verschlüsselt. Befinden sich beide Buchstaben in derselben Spalte, so werden sie durch die beiden jeweils darunterliegenden Buchstaben verschlüsselt. Befinden sich die beiden Buchstaben in derselben Zeile, so werden sie durch die jeweils rechts danebenliegenden Buchstaben ersetzt. Andernfalls bestimmen die beiden Buchstaben schräg gegenüberliegende Ecken eines Rechtecks, die beiden anderen Ecken bilden dann die Verschlüsselung, wobei die Verschlüsselung jedes einzelnen Buchstabens in derselben Zeile wie dieser liegt.

Beachte, dass diese Vorschrift aus mehreren Gründen unvollständig ist. Das Schlüsselwort laute BART. Welche Aussagen sind wahr?

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Die Verschlüsselung von GEIFER lautet…

Das ist leider falsch. Lies die Antworten genau!

Nein, leider nicht. Lies die Antworten genau!

Du solltest nicht einfach nur rumklicken! Die Antwort war völliger Quatsch.

Super!

Was ist die Verschlüsselung von GEIFER?

Zuerst erstellt man die Kodiertabelle, wie in der Angabe beschrieben. Man trägt also erst die Buchstaben B A R T ein und füllt dann den Rest mit den anderen Buchstaben des Alphabets auf.

Kodiertabelle: 

B A R T C
D E F G H
I K L M N
O P Q S U
V W X Y Z

Als nächstes kann nun das Wort GEIFER verschlüsselt werden. Man teilt es in die Paare GE IF ER auf.

G und E liegen in der selben Zeile. Sie werden durch den jeweils rechts daneben liegenden Buchstaben verschlüsselt

G wird zu H,
E wird zu F

I und F liegen weder in der selben Zeile, noch in der selben Spalte. Sie werden also durch die beiden anderen Eckpunkte des Rechtecks bestimmt. Das Rechteck ist D I L F

I wird zu L,
F wird zu D

E und R liegen weder in der selben Zeile, noch in der selben Spalte. Sie werden also durch die beiden anderen Eckpunkte des Rechtecks bestimmt. Das Rechteck ist A E F R

E wird zu F,
R wird zu A

GEIFER wird beim Verschlüsseln also zu HFLDFA.

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Die Entschlüsselung von UTDUHK lautet…

Leider nicht

Das ist fast richtig! Achte auf die Reihenfolge in der Entschlüsselung

Leider nein. Probier's nochmal!

Super, du bist ein Meister der Playfair-Cipher ;)

Was ist die Entschlüsselung von UTDUHK?

Zuerst erstellt man die Kodiertabelle, wie in der Angabe beschrieben. Man trägt also erst die Buchstaben B A R T ein und füllt dann den Rest mit den anderen Buchstaben des Alphabets auf.

Kodiertabelle: 

B A R T C
D E F G H
I K L M N
O P Q S U
V W X Y Z

Nun gibt es zwei Möglichkeiten, entweder man Verschlüsselt die Antwortmöglichkeiten und prüft, ob das Ergebnis mit UTDUHK übereinstimmt, oder man versucht den Algorithmus rückwärts anzuwenden. Hier wird der 2. Ansatz gezeigt:

Man zerlegt das verschlüsselte Wort in 2er Paare: UT DU HK

U und T liegen weder in der selben Zeile noch in der selben Spalte, sie sind also das Ergebnis des Rechteck-Falls in der Verschlüsselung.
Das Rechteck ist T S U C

U wird entschlüsselt zu S,
T wird entschlüsselt zu C

D und U liegen weder in der selben Zeile noch in der selben Spalte, sie sind also das Ergebnis des Rechteck-Falls in der Verschlüsselung.
Das Rechteck ist D O U H

D wird entschlüsselt zu H,
U wird entschlüsselt zu O

H und K liegen weder in der selben Zeile noch in der selben Spalte, sie sind also das Ergebnis des Rechteck-Falls in der Verschlüsselung.
Das Rechteck ist E K N H

H wird entschlüsselt zu E,
K wird entschlüsselt zu N

Das entschlüsselte Wort von UTDUHK heißt also SCHOEN.

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Wörter, die ein J enthalten, lassen sich nicht verschlüsseln.

Das J kommt in der 5x5 Tabelle nicht vor, also können die Regeln darauf nicht angewendet werden. Mit der Beschreibung des Algorithmus, die hier angegeben ist, können Wörter mit J also nicht verschlüsselt werden. Die Antwort ist also wahr.

Wie wird das Problem behoben?

In der vollständigen Beschreibung von Charles Wheatstone wird aus dem Text jedes J durch ein I ersetzt.

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Manche Wörter lassen sich auf zwei Arten verschlüsseln.

Bei dem Verfahren, wie es in der Angabe beschrieben ist, können Wörter auf mehrere Arten verschlüsselt werden, wenn ein Paar aus zweimal dem selben Buchstaben besteht.

Beispiel: KUSS
Die Buchstaben S und S liegen immer in der selben Zeile, und auch in der selben Spalte. Man könnte sich also aussuchen, ob man zweimal den Buchstaben rechts daneben, oder zweimal den Buchstaben darüber nimmt.

Die Antwort ist also wahr.

Wie wird das Problem behoben?

In der vollständigen Beschreibung von Charles Wheatstone wird zwischen die doppelten Buchstaben, die ein Paar bilden, ein X eingefügt.

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Das Wort PUTZ lässt sich nicht verschlüsseln.

Versuche das Wort PUTZ zu verschlüsseln. Erstelle dafür zunächst die Tabelle

Kodiertabelle:

B A R T C
D E F G H
I K L M N
O P Q S U
V W X Y Z

Man zerlegt PUTZ in 2er Paare: PU TZ.

P und U liegen in der selben Zeile, aber rechts neben U ist kein Buchstabe. Die Regel aus der Angabe kann also nicht angewandt werden.

PUTZ lässt sich also nicht Verschlüsseln. Die Antwort ist wahr

Wie wird das Problem behoben?

Ist ein Buchstabe am Rand, dann wird wieder an den Anfang der Zeile bzw. Spalte zurückgesprungen. (PU würde dann zu QO)

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Dir ist eine dreistellige Zahl mit drei verschiedenen Ziffern gegeben, die alle größer als 0 sind. Du sortierst die Ziffern erst absteigend, dann aufsteigend und bildest die Differenz aus den beiden Ergebnissen. Mit dem Ergebnis wendest du das selbe Verfahren erneut an, bis die drei Ziffern des Ergebnisses die selben sind wie zuvor. Die Reihenfolge ist hierbei egal.
Beispiel
Du nimmst die Zahl 823. Wenn du sie absteigend und dann aufsteigend sortierst, erhältst du 832 und 238. Die Differenz aus diesen Zahlen beträgt
832−238=594\displaystyle 832-238=594
Nun führst du das beschriebene Verfahren erneut durch:
954−459=594\displaystyle 954-459=594
und erhältst das selbe Ergebnis wie zuvor.
Für die Zahl 823 benötigst du also zwei Durchführungen der obigen Rechnung, bis zwei mal das selbe Ergebnis vorgekommen ist.
Wie oft musst du diese Rechnung bei jeder beliebigen "Startzahl" höchstens durchführen, bis die drei Ziffern des Ergebnisses die selben sind wie zuvor?
Wir betrachten, was mit den Ziffern der dreistelligen Zahlen passiert, wenn wir unser Verfahren anwenden.Hierfür nennen wir die größte Ziffer x, die zweitgrößte y und die drittgrößte z, somit gilt:
z<y<x\displaystyle z<y<x
Wir rechnen also xyz-zyx.
Nach dem Vorbild der schriftlichen Subtraktion fangen wir mit der dritten entstehenden Ziffer an und nennen sie p:
p  =  10+z−x\displaystyle p\;=\;10+z-x
Wir mussten die 10 hinzufügen, weil x größer als z ist und müssen diese nun bei der 10er-Stelle, der zweiten Ziffer, abziehen. Für die zweite Ziffer o gilt somit:
o  =  10−(y−y)−1=9\displaystyle o\;=\;10-(y-y)-1=9
Die dritte Ziffer n ist damit:
n=x−z−1\displaystyle n=x-z-1
Wir können feststellen, dass nach einer Dürchführung die höchste Zahl o immer gleich 9 ist. Dies bedeutet, dass spätestens bei der zweiten Dürchführung aus der obersten Formel
p′  =  10+p−9=p+1\displaystyle p'\;=\;10+p-9=p+1
wird und aus der untersten
n′=9−p−1=8−p\displaystyle n'=9-p-1=8-p
Setzen wir nun Zahlen für p ein und betrachten p' bzw. n'. Im Hinterkopf behalten wir, dass wir unser Verfahren bereits einmal dürchgeführt haben. Wir setzen p=1 ein:
p′=1+1=2\displaystyle p'=1+1=2
n′=9−1−1=7\displaystyle n'=9-1-1=7
Die neue kleinste Ziffer ist demnach die 2. Wir versuchen es nochmal mit p=2:
p′=2+1=3\displaystyle p'=2+1=3
n′=9−2−1=6\displaystyle n'=9-2-1=6
Die neue kleinste Ziffer ist jetzt die 3. Das nächste p wird gleich 4 und das nächste n wird gleich 5 sein, dem Muster folgend. Setzen wir nun 4 ein, passiert folgendes:
p′=4+1=5\displaystyle p'=4+1=5
n′=9−4−1=4\displaystyle n'=9-4-1=4
Es entsteht wieder das Ziffernpaar 4 und 5, zwar in einer anderen Reihenfolge, aber die ist irrelevant, weil die Ziffern sortiert werden. An dieser Stelle wiederholen sich unsere Ergebnisse. Wenn wir mit p=1 anfangen, haben wir somit die höchste Anzahl an Dürchführungen benötigt. Nach der vierten haben wir das gleiche Ergebnis erneut erhalten.
Wir müssen nur noch beweisen, dass p=1 oder n=1 eine Möglichkeit nach einer Dürchführung ist.
Wir betrachten hierfür die drei Ziffern der Startzahl und benutzen unsere Formel
n=x−z−1\displaystyle n=x-z-1
Damit n=1 ist, was den selben Effekt hat wie p=1, muss gelten:
x−z=2\displaystyle x-z=2
Nehmen wir beispielsweise die Zahl 564. Wir wenden unser Verfahren an und erhalten
654−456=198\displaystyle 654-456=198
Die kleinste Zahl ist eine 1. Wenn wir nun unser Verfahren viermal anwenden, haben wir das gleiche Ergebnis wie vorher.
Antwort: Diese Rechnung muss höchstens 5 mal dürchgeführt werden, bis das selbe Ergebnis zum zweiten Mal vorgekommen ist.
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Markus hat 10 gelbe und 15 rote Gummibärchen. Sein Freund, Anton, hat 3 Mal so viele Gummibärchen und Laura hat 25 weniger als Anton. Bestimme wie viele Gummibärchen nun jeder hat.

Markus

Gelb: 10 ; Rot: 15

Anton

Da Anton 3 Mal so viele Gummibärchen wie Markus hat, wird die Anzahl von Markus mit 3 multipliziert.
10⋅3=3015⋅3=45\displaystyle \begin{array}{l}10\cdot3=30\\15\cdot3=45\end{array}
Gelb: 30 ; Rot: 45

Laura

30+45=7575−25=50\displaystyle \begin{array}{l}30+45=75\\75-25=50\end{array}
Man weis nicht wie viele Gummibärchen Laura von den einzelnen Farben hat, aber man weiß, dass sie insgesamt 50 hat.
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Immer 6

Versuche aus je drei gleichen Ziffern durch Hinzufügen der folgenden Rechenzeichen und -operationen die 66 zu erhalten: +,  −,  ⋅,   ⁣:,  !,  √  .+,\; -,\; \cdot,\; \colon,\; !,\; \surd\; .
Klammern sind auch erlaubt.
Beispiel: 2 + 2 + 2
Funktioniert das überhaupt für jede Zeile?
0   0   00 \ \ \ 0 \ \ \ 0     =6\;\;= 6
1   1   11 \ \ \ 1 \ \ \ 1     =6\;\;= 6
2   2   22 \ \ \ 2 \ \ \ 2     =6\;\;= 6
3   3   33 \ \ \ 3 \ \ \ 3     =6\;\;= 6
4   4   44 \ \ \ 4 \ \ \ 4     =6\;\;= 6
5   5   55 \ \ \ 5 \ \ \ 5     =6\;\;= 6
6   6   66 \ \ \ 6 \ \ \ 6     =6\;\;= 6
7   7   77 \ \ \ 7 \ \ \ 7     =6\;\;= 6
8   8   88 \ \ \ 8 \ \ \ 8     =6\;\;= 6
9   9   99 \ \ \ 9 \ \ \ 9     =6\;\;= 6

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fakultät

Mögliche Lösungen sind:
(0!+0!+0!)!=(1+1+1)!=3!=6(0! + 0! + 0!)! = (1 + 1 + 1)! = 3! = 6
3!=3⋅2⋅1=63! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6       \;\;\; 0!=10! = 1

(1+1+1)!=3!=6(1 + 1 + 1)! = 3! = 6

2⋅2+2=62 \cdot 2 + 2 = 6

3⋅3−3=63 \cdot 3 - 3 = 6

4+4+4=2+2+2=6\sqrt{4} + \sqrt{4} + \sqrt{4} = 2 + 2 + 2 = 6

5+5:5=5+1=65 + 5 : 5 = 5 + 1 = 6 (Punkt vor Strich)

6−6+6=0+6=66 - 6 + 6 = 0 + 6 = 6

7−7:7=7−1=67 - 7 : 7 = 7 - 1 = 6 (Punkt vor Strich)

8−8+8=8−4=8−2=68 - \sqrt{\sqrt{8 + 8}} = 8 - \sqrt{4} = 8 - 2 = 6
16=4=2\sqrt{\sqrt{16}} = \sqrt{4} = 2

9+9−9=3+3+3=6\sqrt{9} + \sqrt{9} - \sqrt{9} = 3 + 3 + 3 =6
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