13747 Gruppierte Textaufgabe


f(x)=2x+2x2−3x\displaystyle f\left( x\right)=\dfrac{2 x+2}{ x^2-3 x}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion

Hier musst du eine Kurvendiskussion einer gebrochen-rationalen Funktion durchführen.

Definitionsbereich bestimmen

Bestimme zunächst den Definitionsbereich.
f(x)=2x+2x2−3xf\left( x\right)=\dfrac{2 x+2}{ x^2-3 x}
Betrachte für den Definitionsbereich die Nullstellen des Nenners.
x2−3x=0x^2-3x=0
⇔x(x−3)=0\Leftrightarrow x\left(x-3\right) =0
⇔x=0\Leftrightarrow x=0 ∨ x=3\vee\ x=3
Die Nullstellen von xx sind also 00 und 33. Daher ist der Defintionbereich von ff:
Df=R\{0;3}\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash\{0;3\} .

Nullstellen

Bestimme die Nullstellen der Funktion.
f(x)=2x+2x2−3xf\left( x\right)=\dfrac{2 x+2}{ x^2-3 x}
Betrachte für die Nullstellen von ff die Nullstellen des Zählers.
2x+2=0⇔x=−12x+2=0 \Leftrightarrow x=-1
Es gibt nur eine Nullstelle bei x=−1x=-1.

Grenzwertbetrachtung

Betrachte den Grenzwert an den Rändern des Definitionsbereichs (Intervallgrenzen, Lücken, im Unendlichen).
lim⁡x→−∞2x+2x2−3x=lim⁡x→−∞2+2x⏞→2x−3⏟→−∞=0\displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty}\frac{2x+2}{x^2-3x}= \lim_{x \rightarrow -\infty}\frac{\overbrace{2+\frac{2}{x}}^{\rightarrow 2}}{\underbrace{x-3}_{ \rightarrow -\infty}}=0
lim⁡x→∞2x+2x2−3x=lim⁡x→∞2+2x⏞→2x−3⏟→∞=0\displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{2x+2}{x^2-3x}= \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{\overbrace{2+\frac{2}{x}}^{\rightarrow 2}}{\underbrace{x-3}_{ \rightarrow \infty}}=0
lim⁡x→0+2x+2x2−3x=lim⁡x→0+2x+2⏞→2x2−3x⏟→0−=−∞\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{2x+2}{x^2-3x}= \lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{\overbrace{2x+2}^{\rightarrow 2}}{\underbrace{x^2-3x}_{ \rightarrow 0^-}}=-\infty
lim⁡x→0−2x+2x2−3x=lim⁡x→0−2x+2⏞→2x2−3x⏟→0+=∞\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^-}\frac{2x+2}{x^2-3x}= \lim_{x \rightarrow 0^-}\frac{\overbrace{2x+2}^{\rightarrow 2}}{\underbrace{x^2-3x}_{ \rightarrow 0^+}}=\infty
lim⁡x→3+2x+2x2−3x=lim⁡x→3+2x+2⏞→8x2−3x⏟→0+=∞\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3^+}\frac{2x+2}{x^2-3x}= \lim_{x \rightarrow 3^+}\frac{\overbrace{2x+2}^{\rightarrow 8}}{\underbrace{x^2-3x}_{ \rightarrow 0^+}}=\infty
lim⁡x→3−2x+2x2−3x=lim⁡x→3−2x+2⏞→8x2−3x⏟→0−=−∞\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3^-}\frac{2x+2}{x^2-3x}= \lim_{x \rightarrow 3^-}\frac{\overbrace{2x+2}^{\rightarrow 8}}{\underbrace{x^2-3x}_{ \rightarrow 0^-}}=-\infty
Diese Grenzwerte geben dir eine waagerechte Asymptote bei y=0y=0 und senkrechte Asymptoten bei x=0x=0 und x=3x=3.

Extrempunkte

Bestimme jetzt die Extrempunkte. Leite dafür die Funktion mit der Quotientenregel ab und setze sie gleich null.
f(x)=2x+2x2−3x\displaystyle f(x)=\frac{2x+2}{x^2-3x}
f′(x)=2⋅(x2−3x)−(2x+2)(2x−3)(x2−3x)2\displaystyle f'(x) =\frac{2\cdot(x^2-3x)-(2x+2)(2x-3)}{(x^2-3x)^2}
f′(x)=0\displaystyle f'(x) =0
⇔2⋅(x2−3x)−(2x+2)(2x−3)=0\Leftrightarrow 2\cdot(x^2-3x)-(2x+2)(2x-3) =0
⇔2x2−6x−4x2−4x+6x+6=0\Leftrightarrow 2x^2-6x-4x^2-4x+6x+6 =0
⇔−2x2−4x+6=0\Leftrightarrow-2x^2-4x+6=0^{ }
x1;2=4±(−4)2−4⋅(−2)⋅(6)2⋅(−2)=4±64−4\displaystyle x_{1;2} =\frac{4\pm \sqrt{(-4)^2-4\cdot(-2)\cdot(6)}}{2\cdot(-2)}= \frac{4\pm \sqrt{64}}{-4}
⇒x1=12−4=−3\Rightarrow x_1=\frac{12}{-4}=-3
⇒x2=−4−4=1\Rightarrow x_2=\frac{-4}{-4}=1^{ }
Setze die Ergebnisse in die Funktion ein, um die ganzen Koordinaten zu erhalten.
f(x1)=2⋅(−3)+2(−3)2−3⋅(−3)=−49+9=−29⇒E1(−3∣−29)\displaystyle f(x_1)=\frac{2\cdot(-3)+2}{(-3)^2-3\cdot(-3)}=\frac{-4}{9+9}=-\frac{2}{9} \Rightarrow E_1\left(-3\left|-\frac{2}{9}\right)\right.
f(x2)=2⋅1+212−3⋅1=4−2=−2⇒E2(1∣−2)f(x_2)=\frac{2\cdot1+2}{1^2-3\cdot1}=\frac{4}{-2}=-2 \Rightarrow E_2\left(1\left|-2\right)\right.

Skizze

Plot der Funktionen mit den Ergebnissen der Kurvendiskussion
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