f(x)=2x+2x23x\displaystyle f\left( x\right)=\dfrac{2 x+2}{ x^2-3 x}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion

Hier musst du eine Kurvendiskussion einer gebrochen-rationalen Funktion durchführen.

Definitionsbereich bestimmen

Bestimme zunächst den Definitionsbereich.
f(x)=2x+2x23xf\left( x\right)=\dfrac{2 x+2}{ x^2-3 x}
Betrachte für den Definitionsbereich die Nullstellen des Nenners.
x23x=0x^2-3x=0
x(x3)=0\Leftrightarrow x\left(x-3\right) =0
x=0\Leftrightarrow x=0  x=3\vee\ x=3
Die Nullstellen von xx sind also 00 und 33. Daher ist der Defintionbereich von ff:
Df=R\{0;3}\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash\{0;3\} .

Nullstellen

Bestimme die Nullstellen der Funktion.
f(x)=2x+2x23xf\left( x\right)=\dfrac{2 x+2}{ x^2-3 x}
Betrachte für die Nullstellen von ff die Nullstellen des Zählers.
2x+2=0x=12x+2=0 \Leftrightarrow x=-1
Es gibt nur eine Nullstelle bei x=1x=-1.

Grenzwertbetrachtung

Betrachte den Grenzwert an den Rändern des Definitionsbereichs (Intervallgrenzen, Lücken, im Unendlichen).
limx2x+2x23x=limx2+2x2x3=0\displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty}\frac{2x+2}{x^2-3x}= \lim_{x \rightarrow -\infty}\frac{\overbrace{2+\frac{2}{x}}^{\rightarrow 2}}{\underbrace{x-3}_{ \rightarrow -\infty}}=0
limx2x+2x23x=limx2+2x2x3=0\displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{2x+2}{x^2-3x}= \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{\overbrace{2+\frac{2}{x}}^{\rightarrow 2}}{\underbrace{x-3}_{ \rightarrow \infty}}=0
limx0+2x+2x23x=limx0+2x+22x23x0=\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{2x+2}{x^2-3x}= \lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{\overbrace{2x+2}^{\rightarrow 2}}{\underbrace{x^2-3x}_{ \rightarrow 0^-}}=-\infty
limx02x+2x23x=limx02x+22x23x0+=\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^-}\frac{2x+2}{x^2-3x}= \lim_{x \rightarrow 0^-}\frac{\overbrace{2x+2}^{\rightarrow 2}}{\underbrace{x^2-3x}_{ \rightarrow 0^+}}=\infty
limx3+2x+2x23x=limx3+2x+28x23x0+=\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3^+}\frac{2x+2}{x^2-3x}= \lim_{x \rightarrow 3^+}\frac{\overbrace{2x+2}^{\rightarrow 8}}{\underbrace{x^2-3x}_{ \rightarrow 0^+}}=\infty
limx32x+2x23x=limx32x+28x23x0=\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3^-}\frac{2x+2}{x^2-3x}= \lim_{x \rightarrow 3^-}\frac{\overbrace{2x+2}^{\rightarrow 8}}{\underbrace{x^2-3x}_{ \rightarrow 0^-}}=-\infty
Diese Grenzwerte geben dir eine waagerechte Asymptote bei y=0y=0 und senkrechte Asymptoten bei x=0x=0 und x=3x=3.

Extrempunkte

Bestimme jetzt die Extrempunkte. Leite dafür die Funktion mit der Quotientenregel ab und setze sie gleich null.
f(x)=2x+2x23x\displaystyle f(x)=\frac{2x+2}{x^2-3x}
f(x)=2(x23x)(2x+2)(2x3)(x23x)2\displaystyle f'(x) =\frac{2\cdot(x^2-3x)-(2x+2)(2x-3)}{(x^2-3x)^2}
f(x)=0\displaystyle f'(x) =0
2(x23x)(2x+2)(2x3)=0\Leftrightarrow 2\cdot(x^2-3x)-(2x+2)(2x-3) =0
2x26x4x24x+6x+6=0\Leftrightarrow 2x^2-6x-4x^2-4x+6x+6 =0
2x24x+6=0\Leftrightarrow-2x^2-4x+6=0^{ }
x1;2=4±(4)24(2)(6)2(2)=4±644\displaystyle x_{1;2} =\frac{4\pm \sqrt{(-4)^2-4\cdot(-2)\cdot(6)}}{2\cdot(-2)}= \frac{4\pm \sqrt{64}}{-4}
x1=124=3\Rightarrow x_1=\frac{12}{-4}=-3
x2=44=1\Rightarrow x_2=\frac{-4}{-4}=1^{ }
Setze die Ergebnisse in die Funktion ein, um die ganzen Koordinaten zu erhalten.
f(x1)=2(3)+2(3)23(3)=49+9=29E1(329)\displaystyle f(x_1)=\frac{2\cdot(-3)+2}{(-3)^2-3\cdot(-3)}=\frac{-4}{9+9}=-\frac{2}{9} \Rightarrow E_1\left(-3\left|-\frac{2}{9}\right)\right.
f(x2)=21+21231=42=2E2(12)f(x_2)=\frac{2\cdot1+2}{1^2-3\cdot1}=\frac{4}{-2}=-2 \Rightarrow E_2\left(1\left|-2\right)\right.

Skizze

Plot der Funktionen mit den Ergebnissen der Kurvendiskussion