1. Ermittle die Formel für den Abstand %%\overline{PQ}%% der Punkte  %%P(x_p \mid y_p)%% und %%Q(x_q \mid y_q)%%. Mache dir die Formel anhand einer Skizze klar.

  2. Berechne die Seitenlängen des Dreiecks %%ABC%% mit %%A(3 \mid 2)%%, %%B(1 \mid 1)%%, %%C(5 \mid -2)%% .

  3. Vom Satz des Pythagoras gilt auch die Umkehrung, d. h., gilt %%a^2+b^2=c^2%%, so hat das Dreieck bei %%C%% einen rechten Winkel. Zeige damit, dass das Dreieck aus Teilaufgabe 2 bei %%A%% rechtwinklig ist.

Teilaufgabe 1

Skizze zu Lösung Aufgabe Pythagoras 9a)

Die Punkte %%P%% und %%Q%% sind zwei Eckpunkte eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Punkte %%P%% und %%Q%% sind weiterhin die Endpunkte der Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks. Die Katheten des rechtwinkligen Dreiecks werden aus der Abständen der Punkte %%P%% und %%Q%% voneinander in horizontaler (%%\Delta x%%) und vertikaler Richtung (%%\Delta y%%) gebildet. 

Der Abstand %%\overline{PQ}%% zwischen den Punkten %%P%% und %%Q%% ergibt sich somit aus der Wurzel der Quadrate der Differenzen %%\Delta x=x_Q-x_P%% und %%\Delta y=y_Q-y_P%%.

$$\overline{PQ}=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2},\;\Delta x=x_Q-x_P,\;\Delta y=y_Q-y_P$$

Teilaufgabe 2

Skizze zu Lösung Aufgabe Pythagoras 9b)

%%\overline{PQ}=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2},\Delta x=x_q-x_p,\Delta y=y_q-y_p%%

Übernehmene die Lösung aus Teilaufgabe 1.

Somit ergibt sich für die Länge der Seite %%\overline{AB}%% mit %%x_A=3%%%%x_B=1%% und  %%y_A=2%%%%y_B=1%%

%%\overline{AB}=\sqrt{\left(1-3\right)^2+\left(1-2\right)^2}%%

%%\overline{AB}=\sqrt{\left(-2\right)^2+\left(-1\right)^2} \approx 2,24%%

und für die Länge der Seite %%\overline{AC}%% entsprechend zu oben eingesetzt

%%\overline{AC}=\sqrt{\left(5-3\right)^2+\left(-2-2\right)^2}%%

%%\overline{AC}=\sqrt{\left(2\right)^2+\left(-4\right)^2} \approx 4,47%%

und für die Länge der Seite %%\overline{BC}%%.

%%\overline{BC}=\sqrt{\left(4\right)^2+\left(-3\right)^2}=5%%

Teilaufgabe 3

Skizze zu Lösung Aufgabe Pythagoras 9c)

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die dem rechten Winkel gegenüberliegende längste Seite die Hypotenuse. Dieses wäre dann die Seite %%\overline{BC}%%. Die Seiten %%\overline{AB}%%  und %%\overline{AC}%%  wären die Kathen. Es ist zu überprüfen, ob: $$\overline{BC}=\sqrt{\overline{AB}^2+\overline{AC}^2}.$$

Die Ergebnisse für die Seitenlängen können aus der Lösung der Teilaufgabe 2 übernommen werden.

%%\sqrt{\overline{AB}^2+\overline{AC}^2}=\sqrt{2,24^2+4,47^2}\approx 5%%

Rechnung, Die Werte werden aus der Lösung von Teilaufgabe 2 übernommen.

Das Dreieck ist bei %%A%% rechtwinklig