2.0 Das Quadrat $ABCD$ mit dem Diagonalenschnittpunkt $M$ ist die Grundfläche des geraden Prismas $ABCDEFGH$ mit der Höhe $[AE]$. Der Schnittpunkt der Diagonalen $[EG]$ und $[FH]$ des Quadrats $EFGH$ ist der Punkt $N$.

Es gilt $\overline{AB}=7 \ \text{cm};\;\;\overline{AE}=9\ \text{cm}$.

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

2.1 Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecke $[AC]$ gilt: $\overline{AC}=9{,}90\ \text{cm}$.

Zeichnen Sie sodann das Schrägbild des Prismas $ABCDEFGH$, wobei die Strecke $\overline{AC}$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $C$ liegen soll.

Für die Zeichnung gilt: $q=\frac12;\;\;\omega=45^\circ$

2.2 Berechnen Sie die Länge der Strecke $[CN]$ sowie das Maß des Winkels $CNG$.

[Ergebnis: $\sphericalangle CNG=61{,}19^\circ$]

2.3 Die Punkte $P_n$ liegen auf der Strecke $[CN].$ Die Winkel $P_nEN$ haben das Maß $\varphi$ mit $\varphi\in\rbrack\;0;\;42{,}27^\circ\rbrack$. Die Punkte $P_n$ sind zusammen mit den Punkten $N$ und $E$ die Eckpunkte von Dreiecken $P_nNE$.

Zeichnen Sie das Dreieck $P_1NE$ für $\varphi=38^\circ$ in das Schrägbild zu 2.1 ein und begründen Sie sodann die obere Intervallgrenze für $\varphi$.

2.4 Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken $[NP_n]$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt:

2.5 Die Punkte $P_n$ sind die Spitzen von Pyramiden $EFHP_n$ mit den Höhen $[P_nT_n]$, deren Fußpunkte $T_n$ auf der Strecke $[EG]$ liegen.

Zeichnen die Pyramide $EFHP_1$ und ihre Höhe $[P_1T_1]$ in das Schrägbild zu 2.1 ein und ermitteln Sie sodann rechnerisch das Volumen $V$ der Pyramiden $EFHP_n$ in Abhängigkeit von $\varphi$.

[Teilergebnis: $\overline{P_nT_n}(\varphi)=\dfrac{4{,}34\cdot\sin\left(\varphi\right)}{\sin\left(\varphi+118{,}81^\circ\right)}\ \text{cm}$]

2.6 Die Punkte $P_n$ sind auch die Spitzen von Pyramiden $ABCDP_n$.

Für die Pyramiden $EFHP_2$ und $ABCDP_2$ gilt:

Berechnen Sie den zugehörigen Wert für $\varphi$.