8Große und kleine Zahlen

Besondere Bedeutung haben Potenzen und negative Potenzen bei der Basis 10. Dort werden Potenzen genutzt, um große oder kleine Zahlen abzukürzen.

Zehnerpotenzen mit positiven Exponenten

Diese kennst du bereits. Eine Million ist beispielsweise:

$1 \,000 \,000 = \underbrace{10 \cdot 10 \cdot ... \cdot 10}=10^6 \\ \hspace{2.3cm} \text{6 mal}$

Zehnerpotenzen mit negativen Exponenten

Schreibt man die 10 mit einem negativen Exponenten, erhält man Folgendes:

$10^{-1}=\ \dfrac{1}{10^1}\ =\dfrac{1}{10}=0{,}1$

Ein Zehntel kann man direkt als Dezimalbruch schreiben.

Die 1 steht nun an der ersten Stelle hinter dem Komma.

$10^{-3}=\dfrac{1}{10^3}=\dfrac{1}{1000} =0{,}001$

Ein Tausendstel kann man auch direkt in einen Dezimalbruch verwandeln.

Die 1 steht nun an der dritten Stelle hinter dem Komma.

Merke: Die 1 steht also immer an der Stelle hinter dem Komma, die dem Betrag des Exponenten entspricht (z.B. im zweiten Beispiel oben an der dritten Stelle, weil die Potenz den Betrag 3 besitzt).

Beispiele

Wir können nun umgekehrt Zahlen direkt in Zehnerpotenzen umwandeln:

$0{,}01\ =\ 10^{-2\ }$

$100\ =10^2$

$87\ 000\ 000\ 000\ =87\ \cdot 1\ 000\ 000\ 000\ =\ 87\ \ \cdot 10^9$

$0{,}0045\ =\ 4{,}5\ \cdot0{,}001\ =4{,}5\ \cdot10^{-3}\ \left(=\ 45\ \cdot10^{-4}\right)$

Auf diese Art und Weise werden viele Zahlen zum Beispiel in der Physik angegeben, um einfacher mit ihnen rechnen zu können.

Bearbeite nun die folgenden Aufgaben, um zu sehen, ob du es verstanden hast.