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Beispiele für lineare Abbildungen

Streckung in xx-Richtung

Unser erstes Beispiel ist die Streckung um den Faktor β\beta in xx -Richtung in der Ebene R2\mathbb {R} ^{2}. Dabei wird jeder Vektor a=(ax,ay)TR2a=(a_{x},a_{y})^{T}\in \mathbb {R} ^{2} abgebildet auf f(a)=(βax,ay)Tf(a)=(\beta a_{x},a_{y})^{T}. Die folgende Grafik zeigt diese Abbildung für β=2\beta =2. Die yy-Koordinate bleibt dabei gleich und die xx-Koordinate wird verdoppelt:

Streckung eines Vektors

Schauen wir uns nun an, ob diese Abbildung verträglich mit der Addition ist. Nehmen wir also zwei Vektoren aa und bb, bilden die Summe a+ba+b und strecken diese dann in xx-Richtung. Das Ergebnis ist dasselbe, als wenn wir beide Vektoren zuerst in xx-Richtung strecken und dann addieren:

Streckung der Summe zweier Vektoren

as lässt sich auch mathematisch zeigen. Unsere Abbildung ist die Funktion f:R2R2, f((x,y)T)=(βx,y)Tf: \R^2 \to \R^2, \ f(\left(x, y)^T\right)=(\beta x, y)^T. Wir können nun die Eigenschaft f(a+b)=f(a)+f(b)f(a+b)=f(a)+f(b) nachprüfen:

Schauen wir uns nun die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation an. Die folgende Grafik zeigt, dass es egal ist, ob der Vektor aa zuerst mit einem Faktor λ\lambda skaliert und dann in xx-Richtung gestreckt wird oder zuerst in xx-Richtung gestreckt und dann mit λ\lambda skaliert wird:

Streckung und Skalierung eines Vektors

Auch das lässt sich formal zeigen: Für aR2a\in\R^2 und λR\lambda\in\R gilt

Damit ist unser f eine lineare Abbildung.

Drehungen

Im Folgenden betrachten wir eine Drehung DαD_\alpha der Ebene um den Winkel α\alpha (gegen den Uhrzeigersinn gemessen) mit dem Ursprung als Drehzentrum. Es handelt sich dabei also um eine Abbildung Dα:R2R2D_\alpha:\R^2\to\R^2, die jedem Vektor vR2 v\in\R^2 den um den Winkel α\alpha gedrehten Vektor Dα(v)R2D_\alpha(v)\in\R^2 zuordnet:

Wir wollen uns jetzt davon überzeugen, dass DαD_\alpha eine lineare Abbildung ist. Dazu müssen wir zeigen:

  1. Dα D_\alpha ist additiv: Für alle v,wR2v,w\in\R^2 ist Dα(v+w)=Dα(v)+Dα(w)D_\alpha(v+w)=D_\alpha(v)+D_\alpha(w).

  2. DαD_\alpha ist homogen: Für alle vR2v\in\R^2 und λR\lambda\in\R ist Dα(λv)=λDα(v)D_\alpha(\lambda\cdot v)=\lambda\cdot D_\alpha(v).

Überprüfen wir zunächst die Additivität, also die Gleichung Dα(v+w)=Dα(v)+Dα(w)D_\alpha(v+w)=D_\alpha(v)+D_\alpha(w). Addieren wir zwei Vektoren v,wR2v,w\in\R^2 zuerst und drehen ihre Summe v+w anschließend um den Winkel α\alpha, so soll derselbe Vektor herauskommen, wie wenn wir erst die Vektoren um den Winkel α\alpha drehen und im Anschluss die gedrehten Vektoren Dα(v)D_\alpha(v) und Dα(w)D_\alpha(w) addieren. Dies machen wir uns an folgenden beiden Videos klar:

Kommen wir nun zur Homogenität: Dα(λv)=λDα(v)D_\alpha(\lambda\cdot v)=\lambda\cdot D_\alpha(v). Strecken wir zunächst einen Vektor vR2 v\in\R^2 um einen Faktor λR \lambda\in\R und drehen das Resultat λv\lambda\cdot v danach um den Winkel α\alpha, so soll derselbe Vektor herauskommen, wie wenn wir als Erstes die Drehung um den Winkel α\alpha durchführen und daraufhin das Ergebnis Dα(v)D_\alpha(v) um den Faktor λ\lambda skalieren. Auch dies wird durch zwei Videos ersichtlich:

Somit handelt es sich bei Drehungen im R2\mathbb {R} ^{2} um lineare Abbildungen.

Lineare Abbildung zwischen Vektorräumen unterschiedlicher Dimension

Ein Beispiel einer linearen Abbildung zwischen zwei Vektorräumen mit unterschiedlicher Dimension ist die folgende Projektion des Raums R3\mathbb {R} ^{3} auf die Ebene R2\mathbb {R} ^{2}:

Wir prüfen nun, ob die Vektoraddition erhalten bleibt. Also ob für Vektoren a,bR3 a,b\in \mathbb {R} ^{3} gilt

gilt 

Dies können wir direkt nachweisen:

Nun überprüfen wir die Homogenität. Für alle λR\lambda \in \mathbb {R} und aR2a\in \mathbb {R} ^{2} soll gelten:

Es ist

Damit ist die Projektion ff eine lineare Abbildung.

Eine nichtlineare Abbildung

Als nächstes untersuchen wir, ob es auch nicht lineare Abbildungen gibt. Hierzu betrachten wir die Normabbildung auf der Ebene, die jedem Vektor seine Länge zuordnet:

Diese Abbildung ist keine lineare Abbildung, denn sie erhält weder die Vektoraddition noch die Skalarmultiplikation.Dies zeigen wir mit Hilfe eines Gegenbeispiels:

Wir betrachten die Vektoren (1,0)T (1{,}0)^{T} und (0,1)TR2(0{,}1)^{T}\in \mathbb {R} ^{2}. Wenn wir die beiden Vektoren zuerst addieren und danach abbilden, so erhalten wir

Nun bilden wir die Vektoren zuerst ab und addieren dann die Ergebnisse:

Also gilt

Damit ist gezeigt, dass die Normabbildung nicht additiv ist. Dies reicht schon aus um zu zeigen, dass die Normalabbildung nicht linear ist.

Alternativ hätten wir auch zeigen können, dass die Normalabbildung nicht homogen ist. Es gilt nämlich

Angewandte Beispiele

Lineare Abbildungen werden in vielen Bereichen verwendet, ohne dass wir uns dessen bewusst sind:

  1. Lineare Abbildungen sind eine der einfachsten Formen einer Abbildung. So werden komplexere Abbildungen häufig durch lineare Abbildungen approximiert.

  2. Der bekannteste Fall, in dem uns lineare Abbildungen das Leben erleichtern, sind Computergrafiken. Jedes Skalieren eines Fotos oder einer Grafik ist eine lineare Abbildung. Auch verschiedene Bildschirmauflösungen wurden letztlich nur linear abgebildet.

  3. Suchmaschinen nutzen Pageranks einer Website, um ihre Suchergebnisse zu sortieren. „Mathe für Nicht-Freaks“, eine zufällige Seite aus dem Internet, erhält so zum Beispiel ein Ranking. Um den Pagerank einer Seite zu bestimmen, wird eine sogenannte Markov-Kette verwendet, die wiederum eine lineare Abbildung ist.

Übungsaufgaben

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zu linearen Abbildungen

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