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3Einführung der quadratischen Ergänzung an einem Beispiel

Unten wird dir anhand eines Beispiels in allgemeiner Parabelform, nämlich 12x+17+2x212x+17+2x^2, gezeigt, wie quadratische Ergänzung funktioniert.

Zuerst wird kurz beschrieben, was in diesem Schritt gemacht wird. Daneben siehst du, welchen Termbestandteil man betrachtet. In der letzten Spalte findest du abschließend den gesamten Term nach der Umformung.

Ziel ist es, die quadratische Funktion in Scheitelpunktsform zu erhalten.

Vorgehensweise

Beispiel

Womit wird etwas gemacht?

Was wurde gemacht?

Sortieren:

Vorne der x2x^2-Term, dann der xx-Term und dann die Konstante.

Hier: 2x22x^2 nach vorne bringen.

12x+17+2x212x+17+\boxed{2x^2}

=2x2+12x+17=2x^2+12x+17

Ausklammern:

Den Koeffizienten des quadratischen Terms bei den "x-Termen" ausklammern (Faktorisieren).

Hier: a=2a=2 bei den xx-Termen ausklammern.

=2x2+12x+17=\boxed2x^2+12x+17

=2(x2+6x)+17=2(x^2+6x)+17

Ergänzen:

Nun wollen wir eine binomische Formel erzeugen. Dafür fehlt noch der zweite Quadratterm. Halbiere den Vorfaktor des Terms mit xx und quadriere ihn. Das ist der benötigte Quadratterm. Addiere diesen Term, um die binomische Formel zu vervollständigen, und subtrahiere ihn direkt nochmal, um die Gleichung nicht zu verändern.

Hier: Ergänzen mit z2=(62)2=32=9z^2=(\frac62)^2=3^2=9

=2(x2+23x)+17=2(x^2+2\cdot\boxed3\cdot x)+17

=2(x2+6x+99)+17=2(x^2+6x\boxed{+9-9})+17

ändert nichts an der Gleichung da

+99=0\boxed{+9-9}=0

Zusammenfassen:

Mithilfe der binomischen Formeln.

Hier: Der Term x2+6x+9x^2+6x+9 ist eine aufgelöste erste binomische Formel.

=2(x2+6x+99)+17=2(\boxed{x^2+6x+9}-9)+17

=2((x+3)29)+17=2((x+3)^2-9)+17

Klammer ausmultiplizieren

Hier: In der Klammer stehen die beiden Summanden (x+3)2(x+3)^2 und (9)(-9).

=2((x+3)29)+17=\boxed2((x+3)^2-\boxed9)+17

=2(x+3)218+17=2(x+3)^2-18+17

Rechte Summe ausrechnen

=2(x+3)218+17=2(x+3)^2\boxed{-18+17}

=2(x+3)21=2(x+3)^2-1

Am Ende erhält man die Scheitelform

=2(x+3)21=2(x+3)^2-1


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