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Reguläre Vielecke

Die regulären n-Ecke für n\in\left\{x\vert x\in\mathbb{N},\;2\leq x\leq10\right\}

Die regulären n-Ecke für n=3,4,...,10n=3{,}4,...,10

Regelmäßige, oder auch reguläre Vielecke sind Vielecke, deren Seiten alle die gleiche Länge besitzen und in denen alle Winkel gleich groß sind.

Alle regulären Vielecke haben einen eindeutigen In- und Umkreis mit demselben Mittelpunkt.

Beispiele

Reguläres Dreieck (gleichseitiges Dreieck)

Reguläres Viereck (Quadrat)

Reguläres Fünfeck (Pentagon)

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Innenwinkel 60°

Innenwinkel 90°

Innenwinkel 108°

Reguläres Sechseck (Hexagon)

Reguläres Siebeneck (Heptagon)

Reguläres Achteck (Oktagon)

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Innenwinkel 120°

Innenwinkel 128,57..°

Innenwinkel 135°

Formeln für regelmäßige n-Ecke

Innenwinkel

Flächeninhalt

aa ist hier eine Seitenlänge des regulären n-Ecks.

Umfang

aa ist eine Seitenlänge des regulären n-Ecks.

Man erhält die Fläche, indem man das n-Eck in einzelne gleichschenklige Dreiecke zerlegt, mit dem Umkreismittelpunkt als Spitze und den einzelnen Seiten als Basen.

Unter allen n-Ecken, die innerhalb eines Kreises liegen, besitzt das reguläre n-Eck den größten Flächeninhalt.

Konstruktion                                      

Die meisten regulären n-Ecke lassen sich nicht ohne weiteres konstruieren. Dreieck, Viereck, Sechseck, Achteck, Sechzehneck und Siebzehneck lassen sich nur mit Zirkel und Lineal konstruieren.

Kreis als n-Eck

Für größere n sieht ein reguläres n-Eck dem Kreis immer ähnlicher. Man kann die Kreiszahl Pi näherungsweise berechnen, indem man den Umfang eines n-Ecks für immer größere n betrachtet. Der Grenzwert dieser Folge ist bei einem Umkreis mit Durchmesser 11 genau Pi.

U=na\mathrm U=\mathrm n\cdot\mathrm a


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