a) Zerfallsgleichung
Die allgemeine Zerfallsgleichung lautet %%f(t)=f_0⋅(1-p)^t%%
Setze die gegebenen Werte (%%t%% in min, %%f(t)%% in cm) ein.
%%\displaystyle \begin{align} 0,5\cdot 10 &= 10\cdot (1-p)^{3}\\ \frac{1}{2} &= (1-p)^{3}\\ \sqrt[3]{\frac{1}{2}} &= 1-p \\ p &=1- \sqrt[3]{\frac{1}{2}} \end{align}%%
Mit dem Zerfallsfaktor %%p%% und dem Startwert kannst du jetzt die Zerfallsgleichung aufstellen.
%%\displaystyle f(t)=10 \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{2}}\right)^t%%
b) Schaumhöhe 1
Setze %%f(t) =1%% .
%%\displaystyle \begin{array}{rcll} 1 &= &10\left(\sqrt[3]{\frac{1}{2}}\right)^t &|:10\\ &&&|\log\\ \log_{\sqrt[3]{\frac{1}{2}}}\frac{1}{10}&=&t \\ t &\approx & 10 \end{array}%%
c) Schaumhöhe 2
Da es die Zerfallsgleichung ist, und 3 min die Halbwertszeit ist (laut Angabe), betrug die Schaumhöhe zu Beginn %%f_0 =3\cdot 2 =6%%.
Falls du das nicht siehst, kannst du auch die Werte einsetzen.
%%\displaystyle \begin{array}{rcll} 3 &= &f_0\left(\sqrt[3]{\frac{1}{2}}\right)^3\\ 3 &= &f_0\cdot\frac{1}{2} &|\cdot 2\\ f_0&=&6 \end{array}%%
d) Stärkster Zerfall
Die Zerfallsfunktion ist eine Exponentialfunktion mit einer Basis, die kleiner ist als 1. Am Graphen erkennst du, dass der Zerfall am Anfang am stärksten ist.