7Äquivalenz (in Arbeit)

Man nennt zwei logische Ausdrücke $A$ und $B$ äquivalent (Schreibweise: $A\Leftrightarrow B$ ), wenn beide wahr oder beide falsch sind.

Zwei Aussageverknüpfungen nennt man äquivalent, wenn der Wahrheitswert der Verknüpfungen für jede Kombination der Wahrheitswerte der einzelnen beteiligten Aussagen gleich ist. Als Schreibweise wird wieder $\Leftrightarrow$ verwendet.

Die Äquivalenz von Aussageverknüpfungen kannst du mit Wahrheitswerttabellen nachweisen. Wenn du alle Möglichkeiten der einzelnen Wahrheitswerte auflistest und die fraglichen Ausdrücke immer denselben Wahrheitswert haben, sind sie äquivalent.

Eine andere Möglichkeit ist die Verwendung von logischen Regeln wie den de Morganschen Regeln oder der Distributivgesetze.

Beispiel: $\left((A\wedge \neg B)\vee(\neg A\wedge B)\right)\Leftrightarrow\left(A\vee B)\wedge(\neg A\vee \neg B)\right)$

Als Abkürzung kann man $C:\Leftrightarrow (A\wedge\neg B)\vee(\neg A\wedge B)$ und $D:\Leftrightarrow (A\vee B)\wedge(\neg A\vee\neg B)$ verwenden, du musst also $C\Leftrightarrow D$ nachweisen.

$A$	$B$	$A\wedge \neg B$	$\neg A\wedge B$	$\color{red}{C}$	$A\vee B$	$\neg A\vee \neg B$	$\color{red}{D}$
$w$	$w$	$f$	$f$	$\color{red}{f}$	$w$	$f$	$\color{red}{f}$
$w$	$f$	$w$	$f$	$\color{red}{w}$	$w$	$w$	$\color{red}{w}$
$f$	$w$	$f$	$w$	$\color{red}{w}$	$w$	$w$	$\color{red}{w}$
$f$	$f$	$f$	$f$	$\color{red}{f}$	$f$	$w$	$\color{red}{f}$

Also sind die Ausdrücke äquivalent.

Diese Verknüpfung ist also genau dann wahr, wenn eine der Aussagen $A$ und $B$ wahr sind, aber nicht beide.

Diese Verknüpfung hat den Namen "exklusives Oder" (nicht mit "Oder" verwechseln!)

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