%%f\left(x\right)=3x^4-7x^2+2%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%f\left(x\right)=3x^4-7x^2+2%%

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. %%x^2%%) durch einen neuen Term (z.B. %%u%%) ersetzt.

%%u=x^2%%

%%f\left(u\right)=3u^2-7u+2%%

$$u_{1,2}=\frac{7\pm\sqrt{(-7)^2-4\cdot3\cdot2}}{2\cdot3}$$

$$=\frac{7\pm\sqrt{49-24}}{6}$$

Unter der Wurzel die Differenz bilden.

$$=\frac{7\pm\sqrt{25}}{6}$$

$$=\frac{7\pm5}6$$

%%u_1=\frac{7+5}6=2%%

1) Fall: %%+%%

%%u_2=\frac{7-5}6=\frac13%%

2) Fall: %%-%%

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

%%x_{1,2}^2=2%%

%%x_{1,2}=\pm\sqrt2%%

%%x_{3,4}^2=\frac13%%

%%x_{3,4}=\pm\sqrt{\frac13}%%

Die Funktion hat 4 Nullstellen und zwar bei %%x_1=\sqrt2,\;x_2=-\sqrt2,\;x_3=\sqrt{\frac13},\;x_4=-\sqrt{\frac13}%%.

Besonderheit

Die Funktion lässt sich durch Substitution auf eine quadratische Funktion zurückführen.