29737 Gruppierte Textaufgabe

Wie hoch ist mindestens das Einkommen der wohlhabendsten 5% Haushalte, wenn das Durchschnittseinkommen 2500€ und die Standardabweichung 1000€ beträgt?

Das Einkommen ist annähernd normalverteilt mit Erwartungswert μ=2500μ=2500 und Standardabweichung σ=1000σ=1000. Das Einkommen wird in dieser Aufgabe mit e abgekürzt. Gesucht ist das Einkommen (e), welches nur 5% der Haushalte mindestens verdienen, also P(e≤X)=0,05P(e\le X)=0,05.
P(e≤X)=0,05P(e\leq X)=0,05
1−P(X≤e)=0,051-P(X\leq e)\displaystyle=0,05
Nähere mit der Normalverteilung an.
1−Φ(e−μσ)=0,05\displaystyle1-\Phi\left(\frac{e-\mu}{\sigma}\right)=0,05
Setz die Werte ein.
1−Φ(e−25001000)=0,05\displaystyle 1-\Phi\left(\frac{e-2500}{1000}\right)=0,05
∣−1\displaystyle\left| -1\right.
∣⋅(−1)\left|\cdot(-1)\right.
Forme um.
Φ(e−25001000)=0,95\displaystyle\Phi\left(\frac{e-2500}{1000}\right)=0,95
∣Φ−1\left|\Phi^{-1}\right.
Wende die Inverse der Verteilungsfunktion an.
e−25001000=Φ−1(0,95)\displaystyle\frac{e-2500}{1000}{=}\Phi^{-1}(0,95)
∣⋅1000\left|\cdot1000\right.∣+2500\\ \left|+2500\right.
Forme nach ee um.
e=1000⋅Φ−1(0,95)+2500\displaystyle e=1000\cdot\Phi^{-1}(0,95)+2500
Lies den Wert im Tafelwerk der Stochastik ab.
e≈1000⋅1,645+2500=4145\displaystyle e\approx1000\cdot1,645+2500=4145
Ein Haushalt ist also wohlhabend, wenn er mindestens ein Einkommen von etwa 4145€4145€ hat.
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