3017 Gruppierte Textaufgabe

(x4−8x2−9):(x−3)(x^4-8x^2-9):(x-3)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision

      (x4−8x2−9):(x−3)=x3+3x2+x+3−(x4−3x3)‾                3x3−8x2            −(3x3−9x2)‾                              x2−9                      −(x2−3x)‾                                        3x−9                                −(3x−9)‾                                                        0\begin{array}{l}\;\;\;(x^4-8x^2-9):(x-3)=x^3+3x^2+x+3\\\underline{-(x^4-3x^3)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;3x^3-8x^2\\\;\;\;\;\;\;\underline{-(3x^3-9x^2)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^2-9\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(x^2-3x)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3x-9\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(3x-9)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}
⇒\Rightarrow Neue Funktion: f(x)=x3+3x2+x+3f\left(x\right)=x^3+3x^2+x+3
Als ganzzahlige Nullstellen des Terms x3+3x2+x+3x^3+3x^2+x+3 kommen nur die Teiler des konstanten Gliedes 33 in Frage.
Also die vier Zahlen: ±1,±3\pm1,\pm3.
Einsetzen ergibt f(−3)=−28+27−3+3=0f(-3)=-28+27-3+3=0. Daneben erhält man: f(±1)≠0f(\pm1) \neq0 und f(+3)≠0f(+3) \neq0.
x=−3x=-3 ist also die einzige ganzzahlige Nullstelle.
Somit muss die Polynomdivision f(x):(x+3)f(x):(x+3) aufgehen.
    (x3+3x2+x+3):(x+3)=x2+1−(x3+3x2)                ‾                            x+3                  −(x+3)      ‾                                    0\begin{array}{l}\;\;(x^3+3x^2+x+3):(x+3)=x^2+1\\\underline{-(x^3+3x^2)\;\;\;\;\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x+3\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(x+3)\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}
⇒\Rightarrow Neue Funktion: f(x)=x2+1f\left(x\right)=x^2+1
x2+1x^2+1==00|−1-1
x2x^2==−1-1
⇒\Rightarrow keine weiteren Nullstellen , da nicht lösbar in R\mathbb{R} .
Für den ursprünglichen Funktionsterm x4−8x2−9x^4-8x^2-9 erhält man somit die folgende Faktorisierung mit zwei Linearfaktoren und einen quadratischen Faktor.
x4−8x2−9=(x−3)(x+3)(x2+1)x^4-8x^2-9=(x-3)(x+3)(x^2+1)
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