(x48x29):(x3)(x^4-8x^2-9):(x-3)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision

      (x48x29):(x3)=x3+3x2+x+3(x43x3)                3x38x2            (3x39x2)                              x29                      (x23x)                                        3x9                                (3x9)                                                        0\begin{array}{l}\;\;\;(x^4-8x^2-9):(x-3)=x^3+3x^2+x+3\\\underline{-(x^4-3x^3)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;3x^3-8x^2\\\;\;\;\;\;\;\underline{-(3x^3-9x^2)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^2-9\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(x^2-3x)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3x-9\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(3x-9)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}
\Rightarrow Neue Funktion: f(x)=x3+3x2+x+3f\left(x\right)=x^3+3x^2+x+3
Als ganzzahlige Nullstellen des Terms x3+3x2+x+3x^3+3x^2+x+3 kommen nur die Teiler des konstanten Gliedes 33 in Frage.
Also die vier Zahlen: ±1,±3\pm1,\pm3.
Einsetzen ergibt f(3)=28+273+3=0f(-3)=-28+27-3+3=0. Daneben erhält man: f(±1)0f(\pm1) \neq0 und f(+3)0f(+3) \neq0.
x=3x=-3 ist also die einzige ganzzahlige Nullstelle.
Somit muss die Polynomdivision f(x):(x+3)f(x):(x+3) aufgehen.
    (x3+3x2+x+3):(x+3)=x2+1(x3+3x2)                                            x+3                  (x+3)                                          0\begin{array}{l}\;\;(x^3+3x^2+x+3):(x+3)=x^2+1\\\underline{-(x^3+3x^2)\;\;\;\;\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x+3\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(x+3)\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}
\Rightarrow Neue Funktion: f(x)=x2+1f\left(x\right)=x^2+1
x2+1x^2+1==00|1-1
x2x^2==1-1
\Rightarrow keine weiteren Nullstellen , da nicht lösbar in R\mathbb{R} .
Für den ursprünglichen Funktionsterm x48x29x^4-8x^2-9 erhält man somit die folgende Faktorisierung mit zwei Linearfaktoren und einen quadratischen Faktor.
x48x29=(x3)(x+3)(x2+1)x^4-8x^2-9=(x-3)(x+3)(x^2+1)