3021 Gruppierte Textaufgabe

(2x2−x−2):(x−1)(2x^2-x-2):(x-1)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision

    (2x2−x−2):(x−1)=2x+1−1x−1−(2x2−2x)              ‾                            1x−2                      −(1x−1)      ‾                                        −1        Rest\begin{array}{l}\;\;(2x^2-x-2):(x-1)=\displaystyle2x+1-\frac1{x-1}\\\color{red}{-} \underline{(2x^2-2x)\;\;\;\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;1x-2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\color{red}{-}\underline{(1x-1)\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-1\;\;\;\;\color {red}{Rest}\end{array}
Die Polynomdivision "geht nicht auf". Der verbleibende Rest (−1)(-1) wird als Bruchterm mit dem Divisor als Nenner zum Teilergebnis des Divisionsverfahrens hinzugefügt.
Dem Quotient (2x2−x−2):(x−1)(2x^2-x-2):(x-1) entspricht die gebrochenrationale Funktion
f(x)=2x2−x−2x−1\displaystyle f(x)=\frac{2x^2-x-2}{x-1}
Die Polynomdivision hat f(x) in die Differenz aus dem Polynom ersten Grades a(x)=2x+1a(x)=2x+1 und der echtgebrochenrationalen Funktion r(x)r(x) zerlegt.
f(x)=2x+1⏟a(x)−1x−1⏟r(x)f(x)=\underbrace{2x+1}_{\displaystyle \color {red}{a(x)}} -\underbrace {\frac{1}{x-1}}_{\displaystyle \color {red}{r(x)}}
Bringe a(x)a(x) auf die linke Seite der Gleichung.
f(x)−a(x)=−1x−1f(x)-a(x)= \displaystyle \frac{-1}{x-1}
Für jede echtgebrochenrationale Funktion r(x)r(x) gilt:
lim⁡x→±∞r(x)=0\lim _{x\rightarrow \pm \infty }r(x)=0
f(x)−a(x)=−1x−1⏟→0  falls  x→±∞f(x)-a(x)= \underbrace{\frac{-1}{x-1}}_{\displaystyle \color{red}{\rightarrow 0} \;\text{falls}\; x\rightarrow \pm \infty}
Damit unterscheiden sich f(x)f(x) und a(x)a(x) für xx gegen plus/minus Unendlich um beliebig wenig.
Die Gerade a(x)=2x+1a(x)=2x+1 ist deshalb die Asymptote von f(x)f(x) für xx gegen plus/minus Unendlich.
Graph Funktion Asymptote
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