Definitionsbereich gebrochen rationaler Funktionen

Gebrochen rationale Funktionen sind von der Form $\sf f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}$ , wobei $\sf p$ und $\sf q$ Polynome sind.

Da man nicht durch Null teilen darf, muss man alle Zahlen $\sf x\in\mathbb R$ ausschließen, für die gilt: $\sf q(x)=0$ .

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\displaystyle \sf f(x)=\dfrac{2x-1}{x^2+1}\;\rightarrow \;q(x)=x^2+1

Prüfe, wann $\sf q(x)$ Null wird:

$\sf x^2+1=0\Leftrightarrow x^2=-1$

Man darf alles einsetzen, also $\sf \mathbb D=\mathbb R$

Da $\sf x^2$ in $\sf \mathbb R$ nicht negativ werden kann, muss man auch keine Zahl aus dem Definitionsbereich ausschließen.

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\displaystyle \sf f(x)=\dfrac{2x-1}{x^2+1}\;\rightarrow \;q(x)=x^2+1

Prüfe, wann $\sf q(x)$ Null wird:

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\displaystyle \sf f(x)=\dfrac{2x-1}{x^2+1}\;\rightarrow \;q(x)=x^2+1

Löse die Gleichung $\sf q(x)=0$ .

Verwende: Ein Produkt wird Null, wenn einer der Faktoren Null ist.

Die Nullstellen sind gegeben durch:

$\sf x_1=0$ , $\sf x_2=-\sqrt3$ und $\sf x_3 = \sqrt3$ .

Man muss diese drei Werte aus der Definitionsmenge ausschließen, also $\sf \mathbb D=\mathbb R\backslash\{0; -\sqrt{3} ;\sqrt3\}$

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