Definitionsbereich gebrochen rationaler Funktionen

Gebrochen rationale Funktionen

Gebrochen rationale Funktionen sind von der Form %%f(x)=\displaystyle\frac{p(x)}{q(x)}%%, wobei %%p%% und %%q%% Polynome sind.

Definitionsbereich

Da man nicht durch Null teilen darf, muss man alle Zahlen %%x\in\mathbb R%% ausschließen, für die gilt: %%q(x)=0%%.

Beispiele

%%f(x)=\displaystyle\frac{2x-1}{x^2+1}\;\rightarrow \;q(x)=x^2+1%%

Prüfe, wann %%q(x)%% Null wird:

%%x^2+1=0\Leftrightarrow x^2=-1%%

Man darf alles einsetzen, also %%\mathbb D=\mathbb R%%

Da %%x^2%% in %%\mathbb R%% nicht negativ werden kann, muss man auch keine Zahl aus dem Definitionsbereich ausschließen.

%%f(x)=\displaystyle\frac{13x+7}{5x^3-15x}\;\rightarrow\;q(x)=5x^3-15x%%

Prüfe, wann %%q(x)%% Null wird:

%%\begin{array} t&5x^3-15x=0&\text{ausklammern}\\ \Leftrightarrow&5x\cdot(x^2-3)=0&\text{Faktoren}=0\\ \Leftrightarrow&5x=0\text{ oder }x^2-3=0&|:5;\;+3\\ \Leftrightarrow& x=0\text{ oder }x^2=3&|\sqrt{\;}\\ \Leftrightarrow &x=0\text{ oder }x=\pm\sqrt 3&\\ \end{array}%%

Löse die Gleichung %%q(x)=0%%.

Verwende: Ein Produkt wird Null, wenn einer der Faktoren Null ist.

Die Nullstellen sind gegeben durch:
%%x_1=0%%, %%x_2=-\sqrt3%% und %%x_3 = \sqrt3%%.

Man muss diese drei Werte aus der Definitionsmenge ausschließen, also %%\mathbb D=\mathbb R\backslash\{0; -\sqrt{3} ;\sqrt3\}%%