Definitionsbereich von Wurzelfunktionen

Wurzelfunktionen

Wurzelfunktionen sind von der Form %%f(x)=\sqrt[n] {x^m}%%.

Bemerkung: %%f(x)= \sqrt2\cdot x%% ist keine Wurzelfunktion, da keine Variable (hier: %%x%%) unter der Wurzel steht!

Definitionsbereich

Man muss hier darauf achten, dass unter geraden Wurzeln kein negativer Wert als Radikand steht.

Von geraden Wurzeln spricht man, wenn %%n%% gerade ist, der Radikand ist der Wert unter der Wurzel.

Wichtig: Auch wenn die Wurzel nur ein Teil der Funktion ist, muss man den Definitionsbereich anpassen.

Beispiele

%%f(x)=\sqrt[4]{6x^3}%%

Prüfe, wann %%6x^3%% kleiner als Null wird.

%%\begin{array} t&6x^3<0&\\ \Leftrightarrow& x^3<0&|:6\\ \Leftrightarrow &x<0&|\sqrt[3]{\;}\\ \end{array}%%

%%\Rightarrow \mathbb D=[0,\infty[%%

%%6x^3%% wird kleiner als Null genau dann, wenn %%x<0%%.
Dieses Intervall muss man also ausschließen. Übrig bleiben die Zahlen größer oder gleich Null.


%%f(x)=\sqrt{17x}+5x-3%%

%%17x<0\Leftrightarrow x<0%%

%%\Rightarrow\mathbb D=[0;\infty[%%

Prüfe, wann %%17x%% kleiner als Null wird.

Das Intervall %%]-\infty;0[%% muss man also ausschließen.

Den Rest der Funktion, also %%5x-3%%, muss man nicht überprüfen, da er ein Polynom ist.


%%f(x)=\sqrt[6]{x^2-4x+3}%%

Prüfe, wann der Radikand %%x^2-4x+3%% kleiner als Null wird.

%%\begin{array}{rcl} \;&x^2-4x+3<0&\text{faktorisieren}\\ \Leftrightarrow &(x-3)(x-1)<0&\\ \end{array}%%

Das Polynom %%x^2-4x+3%% kann man nach dem Satz von Vieta in das angegebene Produkt umwandeln.

Eine andere Möglichkeit ist, die Nullstellen mit Hilfe der Mitternachtsformel zu ermitteln und dann das Polynom als Produkt der zwei Klammern zu schreiben.

Fallunterscheidung:

1. %%\begin{array}\;& x-3<0&\text{ und }x-1>0&\\ \Leftrightarrow &x<3&\text{ und }x>1&\\ \Leftrightarrow &\underline{1<x<3}&&\rightarrow x\in\;]1;3[ \end{array}%%

Man betrachtet zuerst die Möglichkeit, dass der erste Faktor negativ und der zweite Faktor positiv ist.

Der zweite Fall ist die Umkehrung: x-3 wird positiv, während x-1 negativ wird.

2. %%\begin{array}\;& x-3>0&\text{ und }x-1<0&\\ \Leftrightarrow &x>3&\text{ und }x<1&\leftarrow\text{unmöglich} \end{array}%%

%%\Rightarrow \mathbb D= \mathbb R\backslash ]1;3[%%

Da %%x%% nicht größer als 3 und gleichzeitig kleiner als 1 sein kann, gilt nur der erste Fall. Das heißt:
%%x^2-4x+3%% ist kleiner als Null genau dann, wenn %%x%% zwischen 1 und 3 liegt. Dieses Intervall muss man also ausschließen.

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