Definitionsbereich von Logarithmusfunktionen

Logarithmusfunktionen

Logarithmusfunktionen sind von der Form $\sf f(x)= {log}_bx$ , wobei $\sf b$ aus $\sf \mathbb R$ ist. Das Argument kann auch ein Term beliebiger Form sein.

Definitionsbereich

Bei Logarithmusfunktionen muss man darauf achten, dass das Argument stets positiv wird.

Beispiele

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\displaystyle \sf f(x)={log}_5(x^2-1)

Prüfe, wann das Argument $\sf x^2-1$ kleiner oder gleich Null wird.

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\displaystyle \sf f(x)={log}_5(x^2-1)

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\displaystyle \sf f(x)={log}_5(x^2-1)

Wichtig bei der Umformung ist, den Betrag nicht zu vergessen!

Wenn $\sf x$ zwischen -1 und 1 liegt, wird $\sf x^2-1$ kleiner oder gleich 0.

Das Intervall von -1 bis 1 muss man also ausschließen.

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\displaystyle \sf f(x)={log}_5(x^2-1)

Prüfe, wann $\sf x^3-7x$ kleiner oder gleich Null wird.

$\sf \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \sf \; & \sf x^3-7x\leq0 & \sf |x \text{\sf ausklammern} \\ \sf \Leftrightarrow & \sf x\cdot(x^2-7)\leq 0 & \sf \end{array}$

Fallunterscheidung:

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\displaystyle \sf f(x)={log}_5(x^2-1)

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\displaystyle \sf f(x)={log}_5(x^2-1)

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\displaystyle \sf f(x)={log}_5(x^2-1)

Die erste Fallunterscheidung wird gemacht, um die zwei Fälle zu unterscheiden, bei denen das Produkt kleiner oder gleich Null wird.

Erster Faktor kleinergleich Null, zweiter Faktor größergleich Null.

Hier taucht ein Betrag auf, dessen Auflösung in der zweiten Fallunterscheidung passiert:

Dass $\sf x$ kleinergleich Null und gleichzeitig größergleich $\sf \sqrt7$ ist, ist unmöglich.

Es bleibt, dass das Produkt kleiner oder gleich Null wird, wenn $\sf x$ kleiner oder gleich $\sf -\sqrt7$ ist.

Erster Faktor größergleich Null, zweiter Faktor kleinergleich Null.

Auch hier taucht ein Betrag auf, dessen Auflösung in der zweiten Fallunterscheidung passiert:

Das Produkt wird kleinergleich Null, wenn $\sf x$ zwischen Null und $\sf \sqrt7$ liegt und auch, wenn $\sf x$ größergleich Null ist. Das erste Intervall ist Teil des zweiten, d.h. $\sf [0;\sqrt7]\subset[0;\infty[$ .

Man muss das größere Intervall ausschließen!

Zusammenfassend

Man muss ausschließen:

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\displaystyle \sf f(x)={log}_5(x^2-1)

Das Intervall, das somit noch bleibt, ist:

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\displaystyle \sf f(x)={log}_5(x^2-1)

und das ist der Definitionsbereich.

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