Nullstellen von Polynomfunktionen

Beispiele

%%\begin{array} \;a)&f(x)=x^2-16x+48\\ \rightarrow &f(x)=0\\ &x^2-16x+48=0\\ \end{array}%%

Setze den Funktionsterm gleich Null.

%%\begin{array} \;&x_{1,2}=\displaystyle\frac{-(-16)\pm\sqrt{(-16)^2-4\cdot1\cdot48}}{2\cdot1}\\ &x_{1,2}=\displaystyle\frac{16\pm8}{2}\\ &x_1=4\;\text{ und }x_2=12 \end{array}%%

Löse mit Hilfe der Mitternachtsformel.

Alternativ kannst du die Gleichung auch mit Hilfe des Satzes von Vieta lösen.


%%\begin{array} \;b)&f(x)=x^3-2x^2-x+2\\ \rightarrow&f(x)=0\\ &x^3-2x^2-x+2=0\\ \end{array}%%

Setze den Funktionsterm gleich Null.

%%\text{Finde }\;x_0=-1%%

%%\Rightarrow(x^3-2x^2-x+2):(x+1)=x^2-3x+2%%
%%\hphantom{1}\underline{-(x^3+x^2)}%%
%%\hphantom{(-x^3}-3x^2-x%%
%%\hphantom{(-x^3}\underline{-(3x^2-3x)}%%
%%\hphantom{(.-x^3+x^2-}2x+2%%
%%\hphantom{(.x^3+x^21}\underline{-(2x+2)}%%
%%\hphantom{(1-x^3+x^2+x+.}0%%

Durch Probieren (von einfachen Werten) findet man eine Nullstelle. Dies muss nicht - wie hier - -1 sein, sondern kann auch eine der anderen Nullstellen des Polynoms sein!

Führe dann die Polynomdivision durch.

%%\begin{array} \text{Löse}&x^2-3x+2=0\\ &x_{1,2}=\displaystyle\frac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot1\cdot2}}{2\cdot1}\\ &x_{1,2}=\displaystyle\frac{3\pm1}{2}\\ &x_1=1\text{ und }x_2=2 \end{array}%%

Löse die quadratische Gleichung mittels Mitternachtsformel.

Nullstellen: %%\mathbb L=\{x_0;x_1;x_2\}=\{-1;1;2\}%%

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