Nullstellen von trigonometrischen Funktionen (1/6)

Trigonometrische Funktionen haben unendlich viele Nullstellen.

Sinus

Für welche $\sf x\in \mathbb R$ wird $\sf f(x)={sin}(x)$ Null?

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Am Einheitskreis erkennt man, für welche $\sf x\in[0°;360°[\;{sin}(x)$ Null wird.

Es gilt: $\sf 360°\hat{=}\;2\pi$ , also für jedes beliebige $\sf \alpha:\;x=\displaystyle\dfrac{\alpha}{360°}\cdot2\pi$

Aus dem Einheitskreis kann man ablesen, dass $\sf x_1=0°=0$ und $\sf x_2=180°=\pi$ Nullstellen im Intervall $\sf [0;2\pi[$ sind.

Da die Sinusfunktion aber periodisch ist, hat sie unendlich viele Nullstellen. Diese kann man wie folgt aufschreiben: $\sf x_1+k\cdot2\pi=0+k\cdot2\pi$ und $\sf x_2+k\cdot2\pi=\pi+k\cdot2\pi$ für $\sf k\in\mathbb Z$ .

Wenn man also die zwei Nullstellen $\sf x_1$ und $\sf x_2$ im Intervall $\sf [0;2\pi[$ gefunden hat, lautet die Nullstellenmenge:

\displaystyle \sf N=\{x_1+k\cdot2\pi; x_2+k\cdot2\pi\;|\;k\in\mathbb Z\}

Manchmal kann man diese Menge vereinfachen. $\sf 0+k\cdot2\pi$ und $\sf \pi+k\cdot2\pi$ sind einfach $\sf k\cdot\pi$ . Das erkennt man, indem man mal ein paar Werte für $\sf k$ einsetzt.

Fazit

Um Nullstellen der Sinusfunktion zu bestimmen, musst du prüfen, wann ihr Argument den Wert 0 oder $\sf \pi$ annimmt.

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