5Nullstellen von trigonometrischen Funktionen (2/6)

Beispiel für Sinus

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {rrr}\;a)&f(x)=14\cdot\mathrm{sin}(3x-5)\end{array}$

Man weiß, dass $\mathrm{sin}(x)=0\Leftrightarrow x=0$ oder $x=\pi$.

Setze das Argument der Sinusfunktion zuerst gleich null.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}3x-5&=&0&|+5\\3x&=&5&|:3\\x&=&\frac53\end{array}$

Die erste Nullstelle ist also $x_1=\frac53$.

Setze nun das Argument gleich $\pi$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}3x-5&=&\pi&|+5\\3x&=&\pi+5&|:3\\x&=&\frac{\pi+5}{3}\end{array}$

Die zweite Nullstelle lautet $x_2=\frac{\pi+5}{3}$.

Stelle die Terme für alle Nullstellen auf.

$t_1: x_1+k\cdot2\pi=\frac53+k\cdot2\pi$

$t_2: x_2+k\cdot2\pi=\frac{\pi+5}{3}+k\cdot2\pi\;$ für $\;k\in \mathbb Z$.

Fasse das Ergebnis in einer Nullstellenmenge zusammen:

$N=\{\frac53+k\cdot2\pi; \;\frac{5+\pi}{3}+k\cdot2\pi\;|\;k\in \mathbb Z\}$