5Nullstellen von trigonometrischen Funktionen (2/6)

Beispiel für Sinus

  a)f(x)=14sin(3x5)\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {rrr}\;a)&f(x)=14\cdot\mathrm{sin}(3x-5)\end{array}

Man weiß, dass sin(x)=0x=0\mathrm{sin}(x)=0\Leftrightarrow x=0 oder x=πx=\pi.

Setze das Argument der Sinusfunktion zuerst gleich Null.

3x5=0+53x=5:3x=53\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}3x-5&=&0&|+5\\3x&=&5&|:3\\x&=&\frac53\end{array}

Die erste Nullstelle ist also x1=53x_1=\frac53.

Setze nun das Argument gleich π\pi.

3x5=π+53x=π+5:3x=π+53\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}3x-5&=&\pi&|+5\\3x&=&\pi+5&|:3\\x&=&\frac{\pi+5}{3}\end{array}

Die zweite Nullstelle lautet x2=π+53x_2=\frac{\pi+5}{3}.

Stelle die Terme für alle Nullstellen auf.

t1:x1+k2π=53+k2πt_1: x_1+k\cdot2\pi=\frac53+k\cdot2\pi

t2:x2+k2π=π+53+k2π  t_2: x_2+k\cdot2\pi=\frac{\pi+5}{3}+k\cdot2\pi\; für   kZ\;k\in \mathbb Z.

Fasse das Ergebnis in einer Nullstellenmenge zusammen:

N={53+k2π;  5+π3+k2π    kZ}N=\{\frac53+k\cdot2\pi; \;\frac{5+\pi}{3}+k\cdot2\pi\;|\;k\in \mathbb Z\}


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