Nullstellen von trigonometrischen Funktionen

Beispiel Cosinus

Trigonometrische Funktionen sind periodisch, d. h. es gibt nicht nur eine oder gar keine Nullstellen, sondern entweder unendlich viele oder gar keine. Ein Beispiel sei %%f(x)=\cos(x^2-4\pi)%%. Der Graph der Funktion %%f%% sieht wie folgt aus.

Um alle Nullstellen angeben zu können, müssen wir einen Ansatz formulieren. Wir wissen, dass der Kosinus an ungeradzahligen Vielfachen von %%\pi/2%% Null wird. Es gilt also %%\cos(k\cdot\pi/2)=0%%, %%k=1,3,5,7,9,\dots%%. Ungerade Zahlen kann man beschreiben, indem man eine Zahl verdoppelt und danach eins abzieht. Der Ansatz lautet demnach $$x^2-4\pi=(2k-1)\frac{\pi}{2}.$$ Wenn wir diese Gleichung nach %%x%% auflösen, können wir die Nullstellen von %%\cos(x^2-4\pi)%% angeben. Wir rechnen $$x^2=(2k-1)\frac{\pi}{2}+4\pi=\frac{(2k-1)\pi}{2}+4\pi.$$ Die rechte Seite können wir auf einen Hauptnenner bringen und wir erhalten $$x^2=\frac{(2k-1)\pi+8\pi}{2}.$$ Das vereinfachen wir, indem wir zunächst %%\pi%% ausklammern und vor den Bruch schreiben. Dann sind wir bei $$x^2=\pi\cdot\frac{(2k-1)+8}{2}=\pi\cdot\frac{2k+7}{2}$$ angekommen. Den Bruch trennen wir auf, indem wir jeden Summandem im Zähler durch den Nenner teilen: $$x^2=\pi\cdot\left(\frac{2k}{2}+\frac{7}{2}\right)=\pi\cdot\left(k+\frac{7}{2}\right).$$ Als letztes ziehen wir die Wurzel und haben damit für %%k\in\mathbb{Z}%% (alle ganzen Zahlen) die Lösungen $$x=\pm\sqrt{\pi\cdot\left(k+\frac{7}{2}\right)}$$ gefunden. Wir sehen, dass die Wurzel nicht immer berechenbar ist, da %%k%% eine beliebige ganze Zahl sein kann. Dass das Ergebnis dennoch stimmt, hat damit zu tun, dass die Funktion %%f(x)=\cos (x^2-4\pi)%% reelle und komplexe Nullstellen hat. Was komplexe Zahlen sind, steht im Artikel zu komplexen Zahlen.

Machen wir einen Test und setzen %%k=-3%%. Der Taschenrechner (bitte auf rad stellen) berechnet %%\cos\left(\sqrt{\pi\cdot\left(-3+\frac{7}{2}\right)}^2-4\pi\right)=0%%.