(x32x2+1):(2x2+4x)(x^3-2x^2+1):(2x^2+4x)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision



    (x32x2+1):(2x2+4x)=12x2+8x+12x2+4x(x3+2x2)                  4x2+1      (4x28x)                                  +8x+1        Restpolynom\begin{array}{l}\;\;(x^3-2x^2+1):(2x^2+4x)=\displaystyle\frac{1}{2}x-2+\frac{8x+1}{2x^2+4x}\\\underline{\color{red}{-}(x^3+2x^2)\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;-4x^2+1\\\;\;\;\underline{\color{red}{-}(-4x^2-8x)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+8x+1\;\;\;\;\color{red}{Restpolynom}\end{array}
Die Polynomdivision "geht nicht auf".
Der Grad des verbleibenden Restpolynoms des Dividenden ist kleiner als der Grad des Divisors und es wird als Bruchterm mit dem Divisor als Nenner zum Teilergebnis des Divisionsverfahrens hinzugefügt
Dem Quotienten (x32x2+1):(2x2+4x)(x^3-2x^2+1):(2x^2+4x) entspricht die gebrochenrationale Funktion
f(x)=x32x2+12x2+4x\displaystyle f(x)=\frac{x^3-2x^2+1}{2x^2+4x}
Die Polynomdivision hat f(x)f(x) in die Summe der linearen Funktion a(x)a(x) und eine echtgebrochenrationale Funktion r(x)r(x) zerlegt.
f(x)=0,5x2a(x)  +8x+12x2+4xr(x)\displaystyle f(x)= \underbrace{0,5x-2}_{\displaystyle \color{red}{a(x)}} \;+ \underbrace{\frac{8x+1}{2x^2+4x}}_{\displaystyle \color{red}{r(x)}}
Bringe a(x)a(x) auf die linke Seite der Gleichung.
f(x)a(x)=8x+12x2+4x\displaystyle f(x)-a(x)=\frac{8x+1}{2x^2+4x}
Für jede echtgebrochenrationale Funktion r(x)r(x) gilt
limx±r(x)=0\displaystyle \lim_{x\rightarrow\pm\infty}r(x)=0
f(x)a(x)=8x+12x2+4x0  falls  x±\displaystyle f(x)-a(x)= \underbrace{\frac{8x+1}{2x^2+4x}}_{\displaystyle \color{red}{\rightarrow 0} \;\text{falls}\; x\rightarrow \pm \infty}
Damit unterscheidet sich f(x)f(x) von a(x)a(x) für xx gegen plus/minus Unendlich um beliebig wenig.
Die Gerade a(x)=0,5x2a(x)=0,5x-2 ist somit die Asymptote der Funktion f(x)f(x) für xx gegen plus/minus Unendlich.
Graph Funktion Asymptote