Geometrische Figuren und Körper I

  • Eigenschaften von Körpern und ebenen Figuren
    • Würfel, Quader
    • Quadrat, Rechteck, Parallelogramm, Raute
    • Punkt, Strecke, Gerade, Strahl (Halbgerade)
    • senkrecht, parallel
    • Abstand
    • Gitternetz
  • Symmetrie

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Quadrat
Symmetrie
Gerade
Parallele Geraden (lineare Funktionen)
Halbgerade
Strecke
Rechteck
Diagonale
Das Viereck
Parallelogramm
Raute
Quader
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Flächeninhalt der Raute
Aufgaben
Durch Aneinanderlegen von 24 quadratischen Teppichfliesen soll eine lückenlose rechteckige Spielfläche gebildet werden. Jede Teppichfliese hat 0,5m Seitenlänge. Maria hat ein Rechteck mit 6 Fliesen an einer Längsseite und 4 Fliesen an einer Breitseite gelegt. Berechne den Umfang und den Flächeninhalt der Spielfläche. Gib alle weiteren Möglichkeiten an, aus allen 24 Fliesen eine rechteckige Spielfläche zu legen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck

U=2⋅(6⋅a)+2⋅(4⋅a)=12⋅a+8⋅a=20⋅aU=2\cdot(6\cdot a)+2\cdot(4\cdot a)=12\cdot a+8\cdot a=20\cdot a
U=20⋅0,5m=10mU=20\cdot0,5\mathrm m=10\mathrm m
A=(6⋅a)⋅(4⋅a)=24⋅a2A=(6\cdot a)\cdot(4\cdot a)=24\cdot a^2
A=24⋅(0,5m)2=24⋅0,25m2=6m2A=24\cdot(0,5\mathrm m)^2=24\cdot0,25\mathrm m^2=6\mathrm m^2

Längsseite

1

2

3

Breitseite

24

12

8
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Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms.
Parallelogramm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck

So könnte der Satz zu Ende gehen:

"… an der einen Seite ein Dreieck wegschneiden und es an der gegenüber liegenden Seite anlegen, dann erhältst du ein Rechteck"
Am Beispiel der Zeichnung könnte man das Parallelogramm genau dort zerschneiden, wo der Doppelpfeil eingezeichnet ist.
Um den Flächeninhalt eines Parallelogramms zu berechnen, kann man also einfach eine Seite a und ihre Höhe h in die  Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Rechtecks einsetzen.
Hier:
a=6 cm,h=4 cma=6\,\text{cm},\quad h=4\,\text{cm}
Setze die Werte in die Formel ein.
A=6 cm⋅4 cmA=6\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}
A=24 cm2A=24\,\text{cm}^2 \,
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Berechne den Umfang eines Parallelogramms mit den angegebenen Seitenlängen.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umfang des Parallelogramms

a=5 LEa=5\,\text{LE} , b=7 LEb=7\,\text{LE}
Setze die Werte in die Formel ein.
U=2⋅5 LE+2⋅7 LEU=2\cdot5\,\text{LE}+2\cdot7\,\text{LE}
Berechne den Wert und beachte dabei die Regel "Punkt vor Strich"
U=10 LE+14 LE=24 LEU=10\,\text{LE}+14\,\text{LE} = 24\, \text{LE}
Antwort: Der Umfang des Parallelogramms ist 24 LE24\,\text{LE}
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Berechne die Fläche des Parallelogramms, das von den angegebenen Punkten aufgespannt wird.
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A(1|1,5); B(4|-1); C(5|2,5)
Für diese Aufgabe benötigst du - je nach Lösungsweg - Grundwissen über die Determinante oder über das Kreuzprodukt.
A(1∣1,5);B(4∣−1);C(5∣2,5)A(1|1,5); B(4|-1); C(5|2,5)
Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem ein, um einen Überblick zu erhalten. Es ist nicht nötig, das Parallelogramm aus den angegeben Punkt zu konstruieren, da es nur zwei Vektoren benötigt, um die Fläche zu berechnen.Wähle eine Ecke, von der die Vektoren das Parallelogramm aufspannen, und berechne diese Vektoren.
Auch hier ist es egal, welche Ecke man wählt, da die Parallelogrammfläche stets das Doppelte der gewählten Dreiecksfläche ist.
Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7169_NqiBxCTiI3.xml
BA→=(1−41,5−(−1))=(−32,5)\overrightarrow{BA}=\begin{pmatrix}1-4\\1,5-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\2,5\end{pmatrix}
BC→=(5−42,5−(−1))=(13,5)\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}5-4\\2,5-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3,5\end{pmatrix}

1.Lösungsweg: Flächenberechnung mit Determinante

Bestimme die Reihenfolge der Vektoren in der Determinante gegen den Uhrzeigersinn ( α\mathrm\alpha ) oder setze um die Determinante einen Betrag.
Wichitg: KEIN 12\frac12!
Berechne die Determinante und erhalte dann das Ergebnis. Flächeneinheit dabei nicht vergessen, wenn gefordert.
A=∣∣BA→BC→∣∣=∣BC→BA→∣=∣1−33,52,5∣=2,5+10,5=13  FE\mathrm A=\left|\begin{vmatrix}\overrightarrow{\mathrm{BA}}&\overrightarrow{\mathrm{BC}}\end{vmatrix}\right|=\begin{vmatrix}\overrightarrow{\mathrm{BC}}&\overrightarrow{\mathrm{BA}}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&-3\\3,5&2,5\end{vmatrix}=2,5+10,5=13\;FE

2.Lösungsweg: Flächenberechnung mit Kreuzprodukt

Bette die Zeichenebene in den R3\mathbb{R}^3 ein. Dies geschieht, indem jedem Vektor als dritte Komponente der Eintrag 00 hinzugefügt wird.
Berechne nun das Kreuzprodukt BA→×BC→\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{BC}. Das Ergebnis ist ein zu BA→\overrightarrow{BA} und BC→\overrightarrow{BC} orthogonaler Vektor, dessen Betrag dem Flächeninhalt des von BA→\overrightarrow{BA} und BC→\overrightarrow{BC} aufgespannten Parallelogramms entspricht.
A=∣BA→×BC→∣=∣(−32,50)×(13,50)∣=∣(00−13)∣=13  FE\displaystyle A=\left|\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{BC}\right|=\left|\begin{pmatrix}-3\\2,5\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\3,5\\0\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}0\\0\\-13\end{pmatrix}\right|=13\;FE
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Prüfe folgende Aussagen auf ihren Wahrheitsgehalt. Begründe kurz oder gib ein Gegenbeispiel an.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierecke

Die Aussage stimmt.
Nach Definition ist die Raute ein spezielles Parallelogramm, nämlich eines, bei dem mindestens eine der Diagonalen Symmetrieachse der Figur ist.
Somit ist jede Raute ein Parallelogramm.
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Jedes Parallelogramm ist eine Raute.
Nein!
Ja!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierecke

Die Aussage stimmt nicht.
Eine Raute ist symmetrisch bzgl ihrer Diagonalen. Dies ist bei einem Parallelogramm nicht zwingend der Fall.
Die Abbildung zeigt zwei Parallelogramme, von denen das linke eine Raute ist und das rechte nicht:
Image Title
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Jedes Parallelogramm ist ein Trapez.
Ja!
Nein!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierecke

Die Aussage stimmt. Jedes Parallelogramm ist ein Trapez.
Dies folgt unmittelbar aus der Definition eines Parallelogramms. In einem Parallelogramm sind alle gegenüberliegenden Seiten zueinander parallel. Für ein Trapez gilt die schwächere Bedingung, dass mindestens zwei gegenüberliegende Seiten zueinander parallel sind.
Somit ist ein Parallelogramm ein spezielles Trapez.
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Jedes Viereck mit vier gleich langen Seiten ist ein Quadrat.
Nein!
Ja!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierecke

Das ist falsch! Ein Viereck mit vier gleich langen Seiten heißt Raute. In einem Quadrat sind zusätzlich alle Winkel gleich groß.
Vierecke, Quadrat und Raute
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Jedes Quadrat ist auch ein Trapez, Parallelogramm und ein Rechteck.
Ja!
Nein!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierecke

Das ist richtig!
  • Ein Trapez hat zwei gegenüberliegende parallele Seiten.
  • In einem Parallelogramm sind alle gegenüberliegenden Seiten zueinander parallel.
  • Ein Rechteck ist ein Viereck mit vier gleichgroßen Innenwinkeln.
All diese Eigenschaften treffen ebenfalls auf ein Quadrat zu.
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Die Summe aller Innenwinkel in einem Viereck ist 380°380°.
Nein!
Ja!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt Parallelogramm

Flächeninhalt

Da die Seitenlänge der Grundseite (4 Einheiten) und die Höhe beider Vierecke (2 Einheiten) gleich lang sind, haben sie den gleichen Flächeninhalt. (Flächenformel für Parallelogramme)

Umfang

Der Umfang setzt sich aus der Länge aller Seiten zusammen. Die linke und rechte Seite der Figur B liegen schräg und sind deshalb länger als die linke und rechte Seite der Figur A. Deshalb besitzt Figur B auch insgesamt einen größeren Umfang als Figur A.
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Gegeben sind die Punkte A(2|6), B(0|1), C(2|2), D(4|3) und E(6|4). Die Gerade g verläuft durch die Punkte B bis E. Übertrage nachstehende Skizze in dein Heft und ermittle den Abstand des Punktes A zu den Punkten B, C, D und E sowie zur Geraden g. Halte deine Ergebnisse in einer Tabelle fest. Was weißt du über den Abstand eines Punktes von einer Geraden?

Image Title

AB‾=5,4,    AC‾=4,  AD‾=3,6,  AE‾=4,5\overline{AB}=5,4,\;\;\overline{AC}=4,\;\overline{AD}=3,6,\;\overline{AE}=4,5
d(A;g)=3,6d(A;g)=3,6
Der Abstand eines Punktes A von einer Geraden g ist definiert als der Abstand von A von demjenigen Punkt in g, der den geringsten Abstand von A hat.
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Aus einem Drahtstück wird ein Rechteck der Fläche 28cm228\mathrm{cm}^2 gebogen, wobei eine Seite des Rechtecks 4 cm lang ist. Welche Länge hat der Draht?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck

Zweite Seite berechnen:
b=28cm2:4cm=7cmb=28\mathrm{cm}^2:4\mathrm{cm}=7\mathrm{cm}
Länge des Drahtes:
x=2⋅(4cm+7cm)=22cmx=2\cdot(4\mathrm{cm}+7\mathrm{cm})=22\mathrm{cm}
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Ein Quadrat hat den Flächeninhalt AQ=213444cm2A_Q=213444\mathrm{cm}^2 . Ein Rechteck, in dem eine Seite doppelt so lang wie die andere ist, hat den gleichen Umfang wie das Quadrat. Welchen Flächeninhalt hat das Rechteck?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Rechteck

Berechne die Primfaktorzerlegung von 213444.
213444=2⋅2⋅3⋅3⋅7⋅7⋅11⋅11213444=2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot7\cdot7\cdot11\cdot11
⇒aQ=2⋅3⋅7⋅11cm=462cm\Rightarrow a_Q=2\cdot3\cdot7\cdot11\mathrm{cm}=462\mathrm{cm}
UU==4⋅462cm=1848cm4\cdot462\mathrm{cm}=1848\mathrm{cm}
↓
Berechne den Umfang aus der Seitenlänge aQa_Q des Quadrats.
UU==2a+2b2a+2b
↓
Berechne den Umfang des Rechtecks. Benutze, dass a=2⋅ba=2\cdot b ist.
UU==2⋅(2⋅b)+2⋅b=4⋅b+2⋅b2\cdot(2\cdot b)+2\cdot b=4\cdot b+2\cdot b
↓
UU==4⋅b+2⋅b4\cdot b+2\cdot b
UU==6⋅b6\cdot b
→
Forme nach b um.
bb==U : 6 = 1848cm:6=308cmU\ :\ 6\ =\ 1848\mathrm{cm}:6=308\mathrm{cm}
aa==2⋅b =2⋅ 308cm = 616cm2\cdot b\ =2\cdot\ 308cm\ =\ 616cm
ARA_R==a⋅b=616cm⋅308cm=189728cm2a\cdot b=616\mathrm{cm}\cdot308\mathrm{cm}=189728\mathrm{cm}^2
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Wie lang muss ein Zaun sein, der ein quadratisches Grundstück der Fläche 6a  25m26a\;25m^2 umgibt?
Ein Rechteck hat den Umfang 64  cm64 \;\text{cm}. Eine Seite ist 13  cm13 \;\text{cm} länger als die benachbarte Seite. Berechne die Seitenlängen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Rechteck

U=64cmU=64cm
U=2a+2bU=2a+2b
U=2a+2(a+13cm)=4a+26cmU=2a+2(a+13\mathrm{cm})=4a+26\mathrm{cm}
64cm=4a+26cm64\mathrm{cm}=4a+26\mathrm{cm} ∣−26cm\mid-26\mathrm{cm} ∣:4\mid:4
a=9,5cma=9,5\mathrm{cm}
b=a+13cm=22,5cmb=a+13\mathrm{cm}=22,5\mathrm{cm}
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Berechne für ein Rechteck die fehlenden Größen:

 

$$$$

Länge l

Breite b

Flächeninhalt A

Umfang U

a)

5 cm

7 dm

b)

30 cm

1,4 m

c)

120 m

6 ha

d)

80 cm

4 m²

Berechnungen am Rechteck

$$$$

Länge l

Breite b

Flächeninhalt A

Umfang U

a)

5 cm

7 dm

3,5 dm²

15dm

b)

30 cm

0,4 m

0,12 m²

1,4 m

c)

500 m

120 m

6 ha

1240 m

d)

80 cm

5 m

4 m²

11,6 m

a) Berechnung Flächeninhalt A und Umfang U

Gegeben:

Länge l = 5cm Breite b = 7dm

Gesucht: Flächeninhalt A und Umfang U

Die Länge l musst du erst in die Einheit dm umrechnen.

$$A=0,5dm\cdot7dm=3,5dm²$$ $$U=2l+2b$$ $$U=2\cdot0,5dm+2\cdot7dm=15dm$$

Die Länge l wird mit der Breite b multipliziert um den Flächeninhalt A zu erhalten.

Die Werte werden für l und b eingesetzt um das Ergebnis von U zu erhalten.

b) Berechnung Breite b und Flächeninhalt A

Gegeben:

Länge l = 30cm
Umfang U = 1,4m

Gesucht: Breite b und Flächeninhalt A

Die Länge l wird in Meter umgerechnet und der Anteil am Umfang U abgezogen

$$U=2l+2b$$ $$U-2l=1,4m-2\cdot0,3m=0,8m$$ $$2b=0,8m$$ $$b=0,8m:2=0,4m$$ $$A=l\cdot b$$ $$A=0,3m\cdot0,4m=0,12m²$$

Die Breite b bekommst du aus dem Umfang U, indem die Länge l abgezogen wird und die Breite b durch Teilen (Division) hervorgeht.

Um von 2b (2 mal b) den Wert für b rauszubekommen, teilst du das Ergebnis durch 2.

Durch die erhaltene Breite b kannst du dann den Flächeninhalt A ausrechnen.

c) Berechnung Länge l und des Umfang U

Gegeben:

Breite b = 120m
Flächeninhalt A = 6ha

Gesucht: Länge l und Umfang U

Der Flächeninhalt A wird in m² umgerechnet und durch die Breite b geteilt.

$$A=l\cdot b$$ $$A=60000m²:120m=500m$$ $$l=500m$$

Um die Länge l zu erhalten, teilst du den Flächeninhalt A durch die Breite b.

Als Ergebnis kommt der andere Teil vom Flächeninhalt, die Länge l als Ergebnis heraus.

$$U=2l+2b$$ $$U=2\cdot500m+2\cdot120m=1240m$$

Die Werte der Länge l und der erhaltenen Breite b werden eingesetzt, das Ergebnis ist der Umfang.

d) Berechnung Breite b und Umfang U

Gegeben:

Länge l = 80cm
Flächeninhalt A = 4m²

Gesucht: Breite b und Umfang U

Die Länge l rechnest du in Metern um, damit der Flächeninhalt durch l geteilt wird.

$$A=l\cdot b$$ $$A=4m²:0,8m=5m$$

$$l=5m$$

Durch Teilen vom Flächeninhalt durch die vorhandene Länge l bekommst du das Ergebnis der Breite b.

$$U=2l+2b$$ $$U=2\cdot5m+2\cdot0,8m=9,6m$$

Für den Umfang müssen die Länge l und die ausgerechnete Breite b eingesetzt werden

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Berechne x am Rechteck ABCD. (Die Zeichnung ist nicht maßstabgerecht.)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösen von Gleichungen

Gesucht: xx
Zwei gegenüberliegende Seiten eines Rechtecks sind gleich lang, also in diesem Fall: CD‾=AB‾\overline{CD} = \overline{AB}.
3,22 cm+x cm3{,}22\ \mathrm{cm}+x\ \mathrm{cm} ==9,37 cm+4,84 cm9{,}37\ \mathrm{cm}+4{,}84\ \mathrm{cm}|−3,22 cm- 3{,}22\ \mathrm{cm}
↓
Löse nach xx auf.
x cmx\ \mathrm{cm}==9,37 cm+4,84 cm−3,22 cm9{,}37\ \mathrm{cm}+4{,}84\ \mathrm{cm}-3{,}22\ \mathrm{cm}
↓
Rechne die rechte Seite aus.
x cmx\ \mathrm{cm}==10,99 cm10{,}99\ \mathrm{cm}
Also ist die Lösung: x=10,99x=10{,}99
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Verlängert man zwei gegenüberliegende Seiten eines Quadrats um jeweils 3 cm und verkürzt die anderen Seiten um jeweils 2 cm, so entsteht ein Rechteck, dessen Flächeninhalt um  1  cm21\;\mathrm{cm}^2 größer ist als der des Quadrats. Wie lang sind die Seiten des Quadrats?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aufstellen und Lösen von Gleichungen

Variable einführen

a = Seite des Quadrats

Gleichung aufstellen

Drücke die Angaben mithilfe von a aus:
aa : Seite des Quadrats
a+3a+3 : lange Seite des Rechtecks
a−2a-2 : kurze Seite des Rechtecks
a2+1a^2+1 : Flächeninhalt des Rechtecks in Abhängigkeit vom Quadrat
(a+3)(a−2)(a+3)(a-2) : Flächeninhalt in Abhängigkeit von den Rechteckseiten
Gleichung aufstellen:
"Quadrat + 1 = Rechteckfläche (Länge mal Breite)"
a2+1=(a+3)(a−2)a^2+1=\left(a+3\right)\left(a-2\right)

Gleichung lösen

Gleichung umformen und Klammern ausmultiplizieren .
a2+1=a2−2a+3a−6∣−a2a^2+1=a^2-2a+3a-6 \hspace{2cm}|-a^2
1= a−6∣+6\hspace{0.75cm} 1 =\ a-6 \hspace{3.64cm}|+6
7=a\hspace{0.75cm} 7 = a

Lösung überprüfen:

Wenn die Quadratseite 7 cm7\ cm ist, dann wäre die Fläche des Quadrats a2=49 cm2a^2=49\ cm^2 und die Fläche vom Rechteck: 10 cm⋅5 cm=50 cm210\ cm\cdot5\ cm=50\ cm^2 und damit 1 cm21\ cm^2 größer als die Fläche des Quadrats.
Die Lösung stimmt also!

Antwortsatz

    ⇒    \;\;\Rightarrow\;\; Die Länge der Seite a des Quadrats beträgt 7cm.
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Die Nationalfahne der Schweiz zeigt ein weißes Kreuz auf rotem Grund. Für die vier kongruenten Arme des Kreuzes ist durch Beschluss der Schweizer Bundesversammlung aus dem Jahr 1889 festgelegt: Die Länge l eines Arms ist um  %%\frac16%% der Breite b größer als b (vergleiche Abbildung).

 

  1. Wie lang ist ein Arm, wenn seine Breite 18 cm beträgt?

  2. Stelle einen Term auf, der den Flächeninhalt des weißen Kreuzes in Abhängigkeit von der Breite b eines Arms beschreibt. Fasse den Term, in dem nur noch b als Variable vorkommen soll, so weit wie möglich zusammen.

Berechnungen am Rechteck

1. Teilaufgabe

Breite %%b=18\;\mathrm{cm}%%

Länge %%l%% ist um %%\frac16%% länger als %%b%%

Stelle eine Gleichung für die Länge %%l%% auf.

%%l\;=\;\frac76\cdot b%%

Setze den gegebenen Zahlenwert für %%b%% ein.

%%l = \frac76 \cdot 18\;\mathrm{cm}%%

%%l = 21 \mathrm{cm}%%

2. Teilaufgabe

%%A=4\cdot b\cdot l+b^2%%

Stelle eine Gleichung für den Flächeninhalt auf. Ersetze die Breite %%b%% durch das Ergebnis für die Länge %%l%% aus der 1. Teilaufgabe

%%=4\cdot b\cdot\left(\frac76b\right)+b^2%%

Vereinfache soweit wie möglich.

%%=\frac{17}3b^2%%

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Manuelas Zimmer ist 4 m lang, 3,5 m breit und 2,5 m hoch. Eine der beiden großen Wandflächen soll einen gelben Farbanstrich erhalten. Von einem Farbtopf mit der Aufschrift "Inhalt 2,5 l ausreichend für 20 m2\mathrm{m^2} - 25 m2\mathrm{m^2} " ist noch die Hälfte übrig. Reicht die Menge für den Anstrich der Wand? Begründe deine Antwort durch Rechnung.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Rechteck

Die "große" Wandfläche ist 4 m lang und 2,5 m hoch. Berechne die rechteckige Fläche der Wand.
4  m⋅2,5  m=10  m24\;\mathrm m\cdot2,5\;\mathrm m=10\;\mathrm m^2
Überlege dir für wie viel m2\mathrm{m}^2 Wandfläche die restliche Farbe noch reicht. Es ist noch die Hälfte der Farbe da.
Die Farbe reicht für

12⋅20  m2=10  m2\frac12 \cdot 20\; \mathrm{m^2}= 10\;\mathrm m^2

bis

12⋅25  m2=12,5  m2\frac12 \cdot 25 \;\mathrm{m^2} = 12,5\;\mathrm m^2.
Vergleiche das Ergebnis mit der erechneten Wandfläche.
Die Farbe im Topf reicht also aus.
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Ein rechteckiger Garten der Länge 12m und der Breite 9,5m soll eingezäunt werden. Wie lang ist der Zaun, wenn für zwei Gartentore jeweils 2,7m ausgespart werden?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnung am Rechtek

Länge l=12  ml = 12\;\mathrm{m}
Breite b=9,5  mb = 9,5\;\mathrm{m}
Die Zaunlänge entspricht dem Umfang eines Rechtecks. Berechne also den Umfang UU.
U=2l+2bU = 2l + 2b
Setzte die gegebenen Zahlenwerte für ll und bb ein.
U=2⋅12  m+2⋅9,5  mU = 2 \cdot 12\;\mathrm{m} + 2\cdot 9,5\;\mathrm{m}
U=43  mU = 43\;\mathrm{m}
Für zwei Gartentore sollen jeweils 2,7 m ausgespart werden. Subtrahiere also die Gesamtlänge der Gartentore von dem Umfang des Gartens.
2⋅2,7  m=5,4  m2 \cdot 2,7\;\mathrm{m} = 5,4\;\mathrm{m}
43  m−5,4  m=37,6  m43\;\mathrm{m} - 5,4\;\mathrm{m} = 37,6\;\mathrm{m}
Der Zaun ist 37,6  m37,6\;\mathrm m lang.
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Ein rechteckiges Grundstück ist 21m lang und hat einen Flächeninhalt von 14a  70m214a\;70m^2 . Berechne die Breite und den Umfang des Grundstücks.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Rechteck

Gegeben: Länge l=21  ml = 21\;\mathrm{m}Flächeninhalt A=14  a  70  m2A = 14\;\mathrm{a}\; 70\;\mathrm{m^2}
Gesucht: Breite bb und Umfang UU
Rechne den gegebenen Flächeninhalt in die Einheit m2\mathrm{m^2} um.
14  a  70  m214\;\mathrm{a}\;70\;\mathrm{m^2} ==1400  m2+70  m2=1470  m21400\;\mathrm{m^2}+70\;\mathrm{m^2}=1470\;\mathrm{m^2}
→
Berechne die Breite bb mit Hilfe der Formel für den Flächeninhalt.

AA==l⋅bl \cdot b
↓
Setze die gegebenen Zahlenwerte für ll und AA ein.
1470  m21470\;\mathrm{m^2}==21  m⋅b21\;\mathrm{m} \cdot b
↓
Löse die Gleichung nach bb auf.
bb==1470  m221  m=70  m\frac{1470\;\mathrm{m^2}}{21\;\mathrm{m}} = 70\;\mathrm{m}
→
Berechne mit diesem Ergebnis den Umfang.
UU==2b+2l2b+2l
↓
Setze die Zahlenwerte ein.
UU==2⋅70  m+2⋅21  m2 \cdot 70\;\mathrm{m} +2 \cdot 21\;\mathrm{m}|
UU==182  m182\;\mathrm{m}
Das Rechteck hat eine Breite von 70 m und einen Umfang von 182 m.
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