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Aufgaben zum Skalarprodukt

1

Bestimme jeweils das Skalarprodukt der folgenden Vektoren:

  1. v1=(27)v_1 = \begin{pmatrix}-2\\7\end{pmatrix} \\ und  v2=(53)\ v_2 = \begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}

  2. w1=(13)w_1=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix} \\ und  w2=(93)\ w_2=\begin{pmatrix}-9\\3\end{pmatrix}

  3. c1=(81)c_1 = \begin{pmatrix}-8\\1\end{pmatrix} \\ und  c2=(06)\ c_2=\begin{pmatrix}0\\6\end{pmatrix}

  4. d1=(0107)d_1 = \begin{pmatrix}0\\107\end{pmatrix} \\ und  d2=(3420)\ d_2=\begin{pmatrix}-342\\0\end{pmatrix}

  5. u=(0,51)\vec{u} =\begin{pmatrix} 0{,}5\\-1 \end{pmatrix} und v=(42)\vec{v} = \begin{pmatrix} 4\\2 \end{pmatrix}

  6. u=(711)\vec{u} =\begin{pmatrix} 7\\11 \end{pmatrix} und v=(01/2)\vec{v} = \begin{pmatrix} 0\\1/2 \end{pmatrix}

  7. u=(03π)\vec{u} =\begin{pmatrix} 0\\-3\pi \end{pmatrix} und v=(20)\vec{v} = \begin{pmatrix} \sqrt{2}\\0 \end{pmatrix}

  8. a=(2245)\vec a = \begin{pmatrix} 2\sqrt{2} \\ 45^\circ \end{pmatrix} und b=(3120)\vec b = \begin{pmatrix} \sqrt{3} \\ 120^\circ \end{pmatrix}

2

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren.

  1. u=(215)\vec u=\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}  und  v=(672)\vec v=\begin{pmatrix}6\\7\\2\end{pmatrix} .

  2. u=(1234)\vec u=\begin{pmatrix}12\\3\\4\end{pmatrix}  und  v=(608)\vec v=\begin{pmatrix}6\\0\\-8\end{pmatrix} .

  3. u=(231)\vec u=\begin{pmatrix}-2\\3\\1\end{pmatrix}  und  v=(112)\vec v=\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix} .

  4. u=(124)\vec u=\begin{pmatrix}1\\-2\\-4\end{pmatrix}  und  v=(331)\vec v=\begin{pmatrix}-3\\3\\-1\end{pmatrix} .

  5. u=(340)\vec u=\begin{pmatrix}3\\-4\\0\end{pmatrix}  und  v=(8112)\vec v=\begin{pmatrix}8\\1\\12\end{pmatrix} .

  6. u=(101)\vec u=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}  und  v=(003)\vec v=\begin{pmatrix}0\\0\\-3\end{pmatrix} .

  7. u=(519)\vec u=\begin{pmatrix}5\\1\\9\end{pmatrix}  und  v=(282)\vec v=\begin{pmatrix}2\\8\\-2\end{pmatrix} .

  8. u=(539)\vec u=\begin{pmatrix}-5\\3\\9\end{pmatrix}  und  v=(281)\vec v=\begin{pmatrix}2\\8\\-1\end{pmatrix} .

  9. u=(0,2535)\vec u=\begin{pmatrix}0{,}25\\3\\5\end{pmatrix}  und  v=(4230,2)\vec v=\begin{pmatrix}4\\-\dfrac23\\0{,}2\end{pmatrix} .

3

Prüfe, ob die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen.

  1. a=(22)\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}-2\\2\end{pmatrix}   und   b=(11)\overrightarrow{\mathrm b}=\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}

  2. a=(64)\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix} und b=(0.51)\overrightarrow{\mathrm b}=\begin{pmatrix}0.5\\-1\end{pmatrix}

  3. a=(2π7)\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}2\pi\\7\end{pmatrix} und b=(3.5π)\overrightarrow{\mathrm b}=\begin{pmatrix}-3.5\\\pi\end{pmatrix}

  4. a=(63)\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}\sqrt6\\-\sqrt3\end{pmatrix} und b=(22)\overrightarrow{\mathrm b}=\begin{pmatrix}\sqrt2\\2\end{pmatrix}

4

Bestimme einen Vektor so, dass er orthogonal zu dem gegebenen Vektor und nicht der Nullvektor ist.

  1. u=(215)\vec u=\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}

  2. u=(1234)\vec u=\begin{pmatrix}12\\3\\4\end{pmatrix}

  3. u=(231)\vec u=\begin{pmatrix}-2\\3\\1\end{pmatrix}

  4. u=(124)\vec u=\begin{pmatrix}1\\-2\\-4\end{pmatrix}

  5. u=(340)\vec u=\begin{pmatrix}3\\-4\\0\end{pmatrix}

  6. u=(101)\vec u=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}

  7. u=(519)\vec u=\begin{pmatrix}5\\1\\9\end{pmatrix}

  8. u=(139)\vec u=\begin{pmatrix}-1\\3\\9\end{pmatrix}

  9. u=(4560.4)\vec u=\begin{pmatrix}4\\-\textstyle\frac56\\0.4\end{pmatrix}

5

Finde den Wert xx, für den die beiden Vektoren aufeinander senkrecht stehen!

  1. a=(39)\vec a= \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \end{pmatrix} und b=(2x6)\vec b= \begin{pmatrix} 2x \\ 6 \end{pmatrix}

  2. a=(x5)\vec a= \begin{pmatrix} -x \\ 5 \end{pmatrix} und b=(36)\vec b= \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}

  3. a=(012)\vec a= \begin{pmatrix} 0 \\ 12 \end{pmatrix} und b=(3x4)\vec b= \begin{pmatrix} -3x \\ 4 \end{pmatrix}

  4. a=(2x4x)\vec{a} = \begin{pmatrix} 2x-4 \\ x\end{pmatrix} und b=(2x6)\vec{b}= \begin{pmatrix} 2 \\ x-6\end{pmatrix}

  5. a=(32x)\vec{a}=\begin{pmatrix} 3 \\ 2x \end{pmatrix} und b=(x251x)\vec{b}=\begin{pmatrix} x^2 - 5 \\ 1-x \end{pmatrix}

6

Bestimme jeweils die Länge des Vektors mithilfe des Skalarprodukts!

  1. a=(215)\vec a=\begin{pmatrix} 2\\-1\\5\end{pmatrix}

  2. a=(672)\vec a=\begin{pmatrix} 6\\7\\ 2\end{pmatrix}

7

Berechne jeweils den Winkel, der zwischen den beiden Vektoren eingeschlossen wird!

  1. a=(215)\vec a=\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}  und  b=(672)\vec b=\begin{pmatrix}6\\7\\2\end{pmatrix}.

8

Berechne den Winkel zwischen den zwei Geraden.

  1. f:y=5x+3f:y=5x+3 und g:y=2x+3g:y=-2x+3

  2. f:y=x+5f: y=x+5 und g:y=32x2g: y=-\dfrac 3 2 x-2

  3. f:y=2x+6f: y=2x+6 und g:y=12x2g: y=-\dfrac 1 2x -2

9

Bestimme den Winkel, den die beiden Vektoren einschließen.

  1. v=(39)\vec v = \begin{pmatrix}3\\9\end{pmatrix} und  w=(21)\ \vec w = \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}

  2. v=(60)\vec v = \begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix} und  w=(13)\ \vec w = \begin{pmatrix}-1\\-3\end{pmatrix}

  3. v=(522,5)\vec v = \begin{pmatrix}-5\\-22{,}5\end{pmatrix} und  w=(29)\ \vec w = \begin{pmatrix}2\\9\end{pmatrix}

  4. v=(1,32,4)\vec v = \begin{pmatrix}1{,}3\\-2{,}4\end{pmatrix} und  w=(4,53)\ \vec w = \begin{pmatrix}-4{,}5\\3\end{pmatrix}

  5. a=(13)a=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix} und b=(93)b=\begin{pmatrix}-9\\3\end{pmatrix}

  6. a=(27)a = \begin{pmatrix}-2\\7\end{pmatrix} und  b=(53)\ b = \begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}


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