48898 Gruppierte Textaufgabe

I2x+10y−5z=−1II10x−30y+3z=−1III−4x+15y−2z=1\begin{array}{rcccccc}\mathrm{I}&2 x&+&10 y&-&5 z&=&-1\\\mathrm{II}&10 x&-&30 y&+&3 z&=&-1\\\mathrm{III}&-4 x&+&15 y&-&2 z&=&1\end{array}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungssysteme

Das gegebene Gleichungssystem lässt sich mit dem Additionsverfahren lösen.
I2x+10y−5z=−1II10x−30y+3z=−1III−4x+15y−2z=1\begin{array}{rrcrcrcr}\mathrm{I}&2 x&+&10 y&-&5 z&=&-1\\\mathrm{II}&10 x&-&30 y&+&3 z&=&-1\\\mathrm{III}&-4 x&+&15 y&-&2 z&=&1\end{array}
Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten von yy (alternativ: von xx oder zz).
kgV(10;15;30)=30\displaystyle \mathrm{kgV}(10;15;30)=30
Dann multiplizierst du die Gleichungen so, dass alle Koeffizienten von yy 30 sind.
3⋅I→I′6x+30y−15z=−3II10x−30y+3z=−12⋅III→III′−8x+30y−4z=2\begin{array}{rrcrcrcr}\mathrm{3\cdot I\to I'}&6 x&+&30 y&-&15 z&=&-3\\\mathrm{II}&10 x&-&30 y&+&3 z&=&-1\\\mathrm{2\cdot III\to III'}&-8 x&+&30 y&-&4z&=&2\end{array}
Addiere I′\mathrm{I'} und II\mathrm{II} und subtrahiere I′\mathrm{I'} von III′\mathrm{III'}, um die Terme mit yy zu eliminieren.
I′6x+30y−15z=−3II+I′→II′16x−12z=−4III′−I′→III′′−14x+11z=5\begin{array}{rrcrcrcr}\mathrm{I'}&6 x&+&30 y&-&15 z&=&-3\\\mathrm{II+I'\to II'}&16 x&&&-&12 z&=&-4\\\mathrm{III'-I'\to III''}&-14 x&&&+&11z&=&5\end{array}
Löse nun zunächst das "kleine" Gleichungssystem, das aus II′\mathrm{II'} und III′′\mathrm{III''} besteht.
Dafür bestimmst du zunächst das kgV der Koeffizienten von zz und multiplizierst dann die Gleichungen so, dass vor dem zz das kgV steht.
kgV(12;11)=132\displaystyle \mathrm{kgV}(12;11)=132
11⋅II′→II′′176x−132z=−4412⋅III′′→III′′′−168x+132z=60\begin{array}{rccccr}\mathrm{11\cdot II'\to II''}&176x&-&132z&=&-44\\\mathrm{12\cdot III''\to III'''}&-168x&+&132z&=&60\end{array}
Dann addierst du III′′′\mathrm{III'''} und II′′\mathrm{II''}, um den Term mit zz zu eliminieren.
II′′176x−132z=−44III′′′+II′′→III(4)8x=16\begin{array}{rccccr}\mathrm{II''}&176x&-&132z&=&-44\\\mathrm{III'''+II''\to III^{(4)}}&8x&&&=&16\end{array}
Nun löst du III(4)\mathrm{III^{(4)}} nach xx auf und setzt den Wert in II′′\mathrm{II''} ein.
III(4)x=2\mathrm{III^{(4)}}\quad x=2
x=2 in II′′→II′′′176⋅2−132z=−44352−132z=−44∣−352−132z=−396∣:(−132)z=3\begin{array}{rrcrl}x=2\text{ in }\mathrm{II''\to II'''}&176\cdot 2-132z&=&-44\\&352-132z&=&-44&|-352\\&-132z&=&-396&|:(-132)\\&z&=&3\end{array}
Die Werte x=2x=2 und z=3z=3 kann man dann in I′\mathrm{I'} einsetzen, um yy zu bestimmen:
I′→I′′6⋅2+30y−15⋅3=−3−33+30y=−3∣+3330y=30∣:30y=1\begin{array}{rrcrl}\mathrm{I'\to I''}&6\cdot2+30y-15\cdot3&=&-3\\&-33+30y&=&-3&|+33\\&30y&=&30&|:30\\&y&=&1\end{array}
Nun kannst du die Lösungsmenge aufschreiben:
L={(2;1;3)}\displaystyle L=\{(2;1;3)\}
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