I2x+10y5z=1II10x30y+3z=1III4x+15y2z=1\begin{array}{rcccccc}\mathrm{I}&2 x&+&10 y&-&5 z&=&-1\\\mathrm{II}&10 x&-&30 y&+&3 z&=&-1\\\mathrm{III}&-4 x&+&15 y&-&2 z&=&1\end{array}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungssysteme

Das gegebene Gleichungssystem lässt sich mit dem Additionsverfahren lösen.
I2x+10y5z=1II10x30y+3z=1III4x+15y2z=1\begin{array}{rrcrcrcr}\mathrm{I}&2 x&+&10 y&-&5 z&=&-1\\\mathrm{II}&10 x&-&30 y&+&3 z&=&-1\\\mathrm{III}&-4 x&+&15 y&-&2 z&=&1\end{array}
Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten von yy (alternativ: von xx oder zz).
kgV(10;15;30)=30\displaystyle \mathrm{kgV}(10;15;30)=30
Dann multiplizierst du die Gleichungen so, dass alle Koeffizienten von yy 30 sind.
3II6x+30y15z=3II10x30y+3z=12IIIIII8x+30y4z=2\begin{array}{rrcrcrcr}\mathrm{3\cdot I\to I'}&6 x&+&30 y&-&15 z&=&-3\\\mathrm{II}&10 x&-&30 y&+&3 z&=&-1\\\mathrm{2\cdot III\to III'}&-8 x&+&30 y&-&4z&=&2\end{array}
Addiere I\mathrm{I'} und II\mathrm{II} und subtrahiere I\mathrm{I'} von III\mathrm{III'}, um die Terme mit yy zu eliminieren.
I6x+30y15z=3II+III16x12z=4IIIIIII14x+11z=5\begin{array}{rrcrcrcr}\mathrm{I'}&6 x&+&30 y&-&15 z&=&-3\\\mathrm{II+I'\to II'}&16 x&&&-&12 z&=&-4\\\mathrm{III'-I'\to III''}&-14 x&&&+&11z&=&5\end{array}
Löse nun zunächst das "kleine" Gleichungssystem, das aus II\mathrm{II'} und III\mathrm{III''} besteht.
Dafür bestimmst du zunächst das kgV der Koeffizienten von zz und multiplizierst dann die Gleichungen so, dass vor dem zz das kgV steht.
kgV(12;11)=132\displaystyle \mathrm{kgV}(12;11)=132
11IIII176x132z=4412IIIIII168x+132z=60\begin{array}{rccccr}\mathrm{11\cdot II'\to II''}&176x&-&132z&=&-44\\\mathrm{12\cdot III''\to III'''}&-168x&+&132z&=&60\end{array}
Dann addierst du III\mathrm{III'''} und II\mathrm{II''}, um den Term mit zz zu eliminieren.
II176x132z=44III+IIIII(4)8x=16\begin{array}{rccccr}\mathrm{II''}&176x&-&132z&=&-44\\\mathrm{III'''+II''\to III^{(4)}}&8x&&&=&16\end{array}
Nun löst du III(4)\mathrm{III^{(4)}} nach xx auf und setzt den Wert in II\mathrm{II''} ein.
III(4)x=2\mathrm{III^{(4)}}\quad x=2
x=2 in IIII1762132z=44352132z=44352132z=396:(132)z=3\begin{array}{rrcrl}x=2\text{ in }\mathrm{II''\to II'''}&176\cdot 2-132z&=&-44\\&352-132z&=&-44&|-352\\&-132z&=&-396&|:(-132)\\&z&=&3\end{array}
Die Werte x=2x=2 und z=3z=3 kann man dann in I\mathrm{I'} einsetzen, um yy zu bestimmen:
II62+30y153=333+30y=3+3330y=30:30y=1\begin{array}{rrcrl}\mathrm{I'\to I''}&6\cdot2+30y-15\cdot3&=&-3\\&-33+30y&=&-3&|+33\\&30y&=&30&|:30\\&y&=&1\end{array}
Nun kannst du die Lösungsmenge aufschreiben:
L={(2;1;3)}\displaystyle L=\{(2;1;3)\}