f(x)=(2x4)(4x213x+2)4x+8f(x) = (2x-4)(4x^2-\frac{1}{3}x+2)-4x+8
Tipp: Welcher Teil bereitet dir Probleme? Kannst du ihn "ignorieren"?
Wenn du völlig auf dem Schlauch stehst, gehe nochmal züruck auf die Seite 2. Ausklammern von Faktoren(2|2).

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion ff sind die xx-Werte, für die f(x)=0f(x)=0 wird.
f(x)=(2x4)(4x213x+2)4x+8f(x) = (2x-4)(4x^2-\frac{1}{3}x+2)-4x+8

Ersetze den "schlimmen Teil"

Den Term (4x213x+2)(4x^2-\frac{1}{3}x+2) bezeichnen wir als "schlimmen Teil". Ersetzen wir ihn also auch in der Vorschrift von ff:
f(x)=(2x4)f(x) = (2x-4)\cdot schlimmer Teil 4x+8-4x+8
Was haben die Terme (2x4)(2x-4) und 4x+8\ -4x+8 gemeinsam?
4x+8=(2)(2x4)-4x+8 = (-2)\cdot(2x-4)
Setze dies in die Vorschrift von ff ein
f(x)=(2x4)f(x) = (2x-4)\cdot schlimmer Teil  2(2x4)\ -2\cdot(2x-4)
Klammere (2x4)(2x-4) aus
f(x)=(2x4)f(x) = (2x-4)\cdot ((schlimmer Teil  2)-\ 2)
Setze den "schlimmen Teil" ein
f(x)=(2x4)( (4x213x+2) 2)f(x) = (2x-4)\cdot (\ (4x^2-\frac{1}{3}x+2)-\ 2)
Löse innere Klammer auf
f(x)=(2x4)(4x213x+2 2)f(x) = (2x-4)\cdot (4x^2-\frac{1}{3}x+2-\ 2)
2-2 und +2+2 heben sich gegenseitig auf
f(x)=(2x4)(4x213x)f(x) = (2x-4)\cdot (4x^2-\frac{1}{3}x)
ff ist das Produkt von zwei Polynomfunktionen. Berechne die Nullstellen der Faktoren.

Nullstellen des linken Faktors

Setze (2x4)(2x-4) gleich Null
2x4=02x-4 = 0
Bringe die 44 auf die andere Seite
2x4=0     +42x-4 = 0\ \ \ \ \ |+4
Teile durch 22
2x=4           :22x = 4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:2
Erhalte die Nullstelle
x1=2x_1 = 2

Nullstellen des rechten Faktors

Setze  (4x213x)\ (4x^2-\frac{1}{3}x) gleich Null. Da hier kein konstantes Glied auftaucht können wir die kleinste Potenz von xx ausklammern. Wir haben dann:Dort lesen wir die Nullstelle x2=0x_2=0 ab. Es fehlen uns nur noch die Nullstellen von (4x13)(4x-\frac{1}{3}). Diese berechnen wir indem wir 4x134x-\frac{1}{3} gleich Null setzen und diese Gleichung nach xx auflösen.
4x13=04x-\frac{1}{3} = 0
Bringe die 13\frac{1}{3} auf die andere Seite
4x13=0      +134x-\frac{1}{3} = 0\ \ \ \ \ \ |+\frac{1}{3}
Teile durch 4
4x=13             :44x=\frac{1}{3} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:4
Erhalte die Nullstelle
x3=112x_3 = \frac{1}{12}

Und die Nullstellen von ff lauten…

Das war etwas mühsam. Doch jetzt haben wir alle Nullstellen von ff. Sie lauten x1=2,x2=0x_1=2, x_2=0 und x3=112x_3=\frac1{12}.