Ableitungen, Symmetrien und Umkehrfunktionen trigonometrischer Funktionen

Bild

Zwischen den trigonometrischen Funktionen bestehen bezüglich der Ableitung, Symmetrie und der Umkehrfunktion gewisse Beziehungen, die hier übersichtlich in einer Tabelle dargestellt sind.

Ableitung

Symmetrie

Umkehrfunktion

Sinus

(sin⁡(x))′=cos⁡(x)(\sin(x))'=\cos(x)

Punktsymmetrisch zum Ursprung

sin⁡(−x)=−sin⁡(x)\displaystyle \sin(-x) = -\sin(x)

Arkussinus:

sin⁡−1(x)=arcsin(x)\displaystyle \sin^{-1}(x)=\text{arcsin}(x)

Kosinus

(cos⁡(x))′=−sin⁡(x)(\cos(x))' = -\sin(x)

Achsensymmetrisch zur yy-Achse

cos⁡(−x)=cos⁡(x)\displaystyle \cos(-x) = \cos(x)

Arkuskosinus:

cos⁡−1(x)=arccos(x)\displaystyle \cos^{-1}(x)=\text{arccos}(x)

Tangens

(tan⁡(x))′=1+tan⁡2(x)=1cos⁡2(x)(\tan(x))' = 1 + \tan^2(x) = \dfrac{1}{\cos^2(x)}

Punktsymmetrisch zum Ursprung:

tan⁡(−x)=−tan⁡(x)\displaystyle \tan(-x) = -\tan(x)

Arkustangens:

tan⁡−1(x)=arctan(x)\displaystyle \tan^{-1}(x)=\text{arctan}(x)

Beispiel

Leite die Funktion  f(x)=cos⁡(x)−2sin⁡(x) ~f(x)=\cos(x)-2\sin(x)~ ab.

f′(x)=(cos⁡(x))′−2(sin⁡(x))′f'(x)=\left( \cos(x) \right)' -2 \left(\sin(x) \right)'

Schaue in der obigen Abbildung nach, was die Ableitung der Sinus- beziehungsweise Kosinusfunktion ist.

f′(x)=−sin⁡(x)−2cos⁡(x)f'(x)=-\sin(x)-2\cos(x)

Du hast noch nicht genug vom Thema?

Hier findest du noch weitere passende Inhalte zum Thema:

Artikel


Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0. → Was bedeutet das?