(1x4):(1+x+x2)\displaystyle (1-x^4):(1+x+x^2)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision

Vorbereitung der Polynomdivision:
Ordne sowohl das Polynom des Dividenden als auch das Polynom des Divisors nach fallenden Potenzen.
%%(1-x^4):(1+x+x^2)=%%
(x4+1):(x2+x+1)(-x^4+1):(x^2+x+1)
Polynomdivision:
%%\begin{array} {l}\hphantom{-}(-x^4+1):(x^2+x+1)=\displaystyle{-x^2+x+\frac{1-x}{x^2+x+1}}\\\color{red}{-(}\underline{-x^4-x^3-x^2\color{red}{)}}\\\hphantom{(-x^4+1}x^3+x^2+1\\\hphantom{-(x^4+}\color{red}{-(}\underline{x^3+x^2+x}\color{red}{)}\\\hphantom{-(x^4+1)=-x}-x+1\;\;\;\;\color{red}{Rest}\end{array}%%
ausführliche Polynomdivision mit den fehlenden Gliedern im Dividenden
%%\begin{array} {l}\hphantom{-}(-x^4+\color{red}{0}\cdot x^3+\color{red}{0}\cdot x^2+\color{red}{0}\cdot x+1):(x^2+x+1)=\displaystyle{-x^2+x+\frac{1-x}{x^2+x+1}}\\\color{red}{-(}\underline{-x^4-\color{red}{1}\cdot x^3-\color{red}{1}\cdot x^2}\color{red}{)}\\\hphantom{-((x^3(} \color{red}{+1}\cdot x^3\color{red}{+1} \cdot x^2+\color{red}{0} \cdot x\\\hphantom{{-}-((}\color{red}{-(}\underline{\;\;\;\;\,x^3+\;\;\;\;\,x^2+\;\;\;\,x\color{red}{)}}\\\hphantom{-(x^3-(+x^3+x^3+x^3+\,} -x+1\end{array}%%
Dem Quotienten (x4+1):(x2+x+1)(-x^4+1):(x^2+x+1) entspricht die gebrochenrationale Funktion
f(x)=x4+1x2+x+1\displaystyle f(x)=\frac{-x^4+1}{x^2+x+1}
.
Die Polynomdivision hat f(x)f(x) in die Summe aus dem Polynom 2. Grades a(x)=x2+xa(x)=-x^2+x und die echt gebrochenrationale Funktion r(x) mit dem Zählergrad 1 und dem Nennergrad 2 zerlegt.
f(x)=x2+xa(x)+1xx2+x+1r(x)\displaystyle f(x) =\underbrace{-x^2+x}_{\displaystyle \color{red}{a(x)}}+\underbrace{\frac{1-x}{x^2+x+1}}_{\displaystyle \color{red}{r(x)}}
Bringe a(x)a(x) auf die linke Seite der Gleichung.
f(x)a(x)=1xx2+x+1f(x)-a(x)= \displaystyle \frac{1-x}{x^2+x+1}
Für jede echtgebrochenrationale Funktion r(x)r(x) gilt:
limx±r(x)=0\lim_{x \rightarrow \pm \infty}r(x)=0
f(x)a(x)=1xx2+x+10  falls  x±\displaystyle f(x)-a(x)= \underbrace{\frac{1-x}{x^2+x+1}}_{\displaystyle \color{red}{\rightarrow 0} \;\text{falls}\; x\rightarrow \pm \infty}
Damit unterscheiden sich f(x)f(x) und a(x)a(x) für x gegen plus/minus Unendlich um beliebig wenig.
Die nach unten geöffnete Parabel a(x)a(x) ergibt die asymptotische Kurve von f(x)f(x) für x gegen plus/minus Unendlich.
Grapgh Funktion Parabel