Wie viele verschiedene Produkte lassen sich aus den Primfaktoren 5, 7 und 11 bilden, wenn jeder Faktor höchstens einmal vorkommen darf? Berechne die Differenz des kleinsten und des größten dieser Produkte.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik

Benutze hier das Modell "ohne Reihenfolge, ohne Zurücklegen", da beim multiplizieren die Reihenfolge keine Rolle spielt und jeder Faktor höchstens einmal vorkommen darf. Berechne also mit Binomialkoeffizient. Unterscheide dabei zwei Fälle, Produkte mit zwei und Produkte mit drei Faktoren.
Genau zwei Faktoren:
Hier gilt n=3 (drei Faktoren zur Auswahl) und k=2 (Produkt besteht aus genau zwei Faktoren). Es gibt also (32)=3!2!(32)!=62=3\displaystyle \binom{3}{2}=\frac{3!}{2!(3-2)!}=\frac{6}{2}=3 Möglichkeiten:
  1. 57=355\cdot7=35
  2. 511=555\cdot11=55
  3. 711=777\cdot11=77
Alle drei Faktoren:
Hier gilt wieder n=3 und diesmal k=3, da alle drei Faktoren im Produkt vorkommen.
Mit (33)=1\displaystyle\binom{3}{3}=1 folgt, dass es hier nur eine Möglichkeit 5711=3855\cdot7\cdot11=385 gibt.
\RightarrowEs gibt also insgesamt vier Möglichkeiten, die Differenz zwischen der größten und kleinsten Lösung ist 38535=350385-35=350.