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1Lösung 1c

Aufgabenstellung

11 Gegeben ist die in R\mathbb{R} definierte Funktion f:x  e12x+e12xf: x \mapsto \; e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}. Der Graph von ff wird mit GfG_f bezeichnet.

 

a)a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von GfG_f mit der yy-Achse und begründen Sie, dass GfG_f oberhalb der xx-Achse verläuft. (2 BE) b)b) Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von GfG_f sowie das Verhalten von ff für xx \to -\infty und für xx \to \infty. (3 BE)

c)c) Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung ff'' von ff die Beziehung f(x)=14f(x)f''(x)=\frac{1}{4}\cdot f(x) für xRx\in \mathbb{R} gilt. Weisen Sie nach, dass GfG_f linksgekrümmt ist. (4 BE)

\rightarrow Zur Kontrolle: f(x)=12(e12xe12x)f'(x)=\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x}\right)

Lösung

Zweite Ableitung von ff

Um die zweite Ableitung zu bestimmen, benötigst du zunächst die erste Ableitung. Beachte dazu die Ableitungsregeln.

f(x)=e12x12+e12x(12)f'(x)=e^{\frac{1}{2}x}\cdot \frac {1}{2} + e^{-\frac{1}{2}x}\cdot (-\frac {1}{2})

Fasse so weit wie möglich zusammen.

f(x)=12e12x12e12xf'(x)=\frac {1}{2} \cdot e^{\frac{1}{2}x} -\frac {1}{2}\cdot e^{-\frac{1}{2}x}

Kannst du noch etwas ausklammern?

f(x)=12(e12xe12x)f'(x)=\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x}\right)

Damit bist du beim Kontrollergebnis.

Leite die Ableitung noch einmal ab. Beachte wieder die Ableitungsregeln.

f(x)=12(e12x12e12x(12))f''(x)=\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}\cdot\frac{1}{2} -e^{-\frac{1}{2}x}\cdot (-\frac{1}{2})\right)

Kannst du noch etwas ausklammern? Achte auf die Vorzeichen.

f(x)=1212(e12x+e12x)f''(x)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}\right)

f(x)=14(e12x+e12x)f''(x)=\frac{1}{4}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}\right)

In der Klammer steht die Funktionsgleichung von f(x)f(x). Daraus folgt:

f(x)=14f(x)f''(x)=\frac{1}{4}\cdot f(x)

Linkskrümmung nachweisen

Damit eine Linkskrümmung vorliegt, muss die zweite Ableitung immer positiv sein.

f(x)=14f(x)f''(x)=\frac{1}{4}\cdot f(x)

Du hast schon gezeigt, dass die Funktion f(x)f(x) immer oberhalb der xx-Achse verläuft, also gilt immer:

f(x)>0f(x)>0

Daraus folgt:

f(x)=14f(x)>0f''(x)=\frac{1}{4}\cdot f(x)>0

Und damit gilt dann auch:

\Rightarrow ff ist linksgekrümmt


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