Springe zum Inhalt oder Footer
SerloDie freie Lernplattform

1Lösung 1b

Aufgabenstellung

Betrachtet wird der abgebildete Würfel ABCDEFGHABCDEFGH. Die Eckpunkte DD, EE, FF und HH dieses Würfels besitzen in einem kartesischen Koordinatensystem die folgenden Koordinaten: D(002)D(0|0|-2), E(200)E(2|0|0), F(220)F(2|2|0) und H(000)H(0|0|0).

Abitur 2016 Geometrie A1

a) Zeichnen Sie in die Abbildung die Koordinatenachsen ein und bezeichnen Sie diese. Geben Sie die Koordinaten des Punkts AA an. (2 BE)

b) Der Punkt PP liegt auf der Kante [FB][FB] des Würfels und hat vom Punkt HH den Abstand 33. Berechnen Sie die Koordinaten des Punkts PP. (3 BE)

Lösung

Das erste, was dir auffallen sollte ist, dass der Abstand: HP=3\overline{HP} = 3

 

HP=(p1p2p3)(000)=(p1p2p3)=p12+p22+p32=3|\overrightarrow{HP}| = \left| \begin{pmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} \right| = \left| \begin{pmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix} \right| = \sqrt{p_1^2 + p_2^2 + p_3^2} = 3

 

Die zweite Information, die dich ab diesem Schritt weiterbringt, ist, dass PP auf der Kante [FB][FB] liegt. Deshalt haben FF und BB die gleiche x1x_1- und x2x_2-Koordinate.

  • p1=2p_1 = 2

  • p2=2p_2 = 2

Mit dieser Erkenntnis kannst du auch die verbliebene dritte Koordinate p3p_3 des Punktes PP finden.

 

HP=p12+p22+p32=22+22+p32=8+p32=3|\overrightarrow{HP}| = \sqrt{p_1^2+p_2^2+p_3^2} = \sqrt{2^2+2^2+p_3^2} = \sqrt{8+p_3^2} = 3

 

Rechne die mögliche(n) Lösung(en) für p3p_3 aus.

8+p32=3\sqrt{8+p_3^2} = 3

2{\ldots}^2

8+p32=98+p_3^2 = 9

8| - 8

p32=1p_3^2 = 1

\sqrt{\ldots}

p3=±1p_3=\pm 1

Da sowohl BB, als auch AA auf der selben x3x_3-Koordinatenachse liegen, muss der Wert von p3p_3 zwischen 2-2 und 00 liegen.

 

Die dritte Koordinate für PP ist entweder 1-1 oder 11. Da allerdings 11 nicht in der Menge [2,0][-2{,}0] liegt, bleibt dir nur noch eine Möglichkeit.

 

Die Koordinaten des Punktes PP sind also (221)(2|2|-1).


Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0Was bedeutet das?