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1Lösung c

Aufgabenstellung

Abbildung

c)c) Im Zielpunkt ist die Kamera zunächst senkrecht nach unten orientiert.

Um die Position des Balls anzuvisieren, die im Modell durch den PunktB(401050)B( 40 |105 | 0) beschrieben wird, muss die Kamera gedreht werden.Berechnen Sie die Größe des erforderlichen Drehwinkels. (4 BE)

Lösung

Die Kamera schwenkt von einer senkrechten Ansicht nach unten auf das Spielfeld in Richtung BB, wo sich ein Ball befindet. Stelle dir vor, dass die unterschiedlichen Blickwinkel anhand von zwei Vektoren dargestellt werden. Gesucht ist der Winkel zwischen diesen zwei Vektoren.

 

Zunächst zeigt die Kamera senkrecht nach unten. Da man nichts an ihrer x1x_1- und x2x_2-Koordinate ändert, aber an ihrer x3x_3-Koordinate, ist ihr Richungsvektor somit v0=(001)v_0 = \begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}

 

Der Blickwinkel von der zweiten Position der Kamera K2K_2 zum Ball BB ist gegeben durch den Richtungsvektor v1=K2B=(401050)(5110010)=(11510)v_1 = \overrightarrow{K_2B} = \begin{pmatrix}40\\105\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}51\\100\\10\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}11\\5\\-10\end{pmatrix}

 

Der gesuchte Drehwinkel α\alpha zwischen diesen Richtungsvektoren v0v_0 und v1v_1 ist gegeben durch

 

cos(α)=v0    v1v0v1=(001)(11510)02+02+(1)2112+52+(10)2=011+05+(1)(10)1246=10246α=cos1(10246)50,39°\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lrll} &\cos(\alpha) &= &\frac{\overrightarrow{v_0} \; \circ \; \overrightarrow{v_1}}{|\overrightarrow{v_0}| \cdot |\overrightarrow{v_1}|} = \frac{\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}11\\5\\-10\end{pmatrix}}{\sqrt{0^2+0^2+(-1)^2} \cdot \sqrt{11^2+5^2+(-10)^2}} \\&&= &\frac{0\cdot11+0\cdot5+(-1)\cdot(-10)}{1\cdot\sqrt{246}} \\&&= &\frac{10}{\sqrt{246}} \\\Rightarrow &\alpha &= &\cos^{-1}\left(\frac{10}{\sqrt{246}}\right)\\&&\approx &50{,}39 °\end{array}

 

Die Kamera schwenkt also zur Ballposition in dem Drehwinkel α50,39°\alpha \approx 50{,}39 °.


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