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2Beweis der Irrationalität von Wurzel 2 (1/2)

Du kennst schon die rationalen Zahlen Q\mathbb{Q}. Allerdings gibt es einige Wurzelzahlen, die nicht rational, sondern irrational sind (z.B.:2,3,5,6,\sqrt2, \sqrt3,\sqrt5,\sqrt6,…). Wir beweisen nun die Irrationalität der 2\sqrt{2}:

Beweis

Wir nehmen an, dass 2\sqrt2 eine rationale Zahl ist. Das bedeutet, wir können sie darstellen als einen vollständig gekürzten Bruch. Dazu wählen wir zwei ganze Zahlen zz und nn. Für den Bruch mit Zähler zz und Nenner nn gilt:

Quadriere beide Seiten.

Löse weiter auf.

Stelle um nach z2z^2.

2n22\cdot n^2 ist eine gerade Zahl, weil man sie durch 2 teilen kann. Wegen dem Gleicheitszeichen ist auch z2z^2 eine gerade Zahl.

Allgemein gilt: „Wenn a2a^2 gerade ist, dann ist auch aa gerade ”

Wenn also z2z^2 gerade ist, dann ist auch zz gerade und kann deswegen durch 22 geteilt werden.


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