%%f(x)=x^4-6x^2+5%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%f(x)=x^4-6x^2+5%%

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. %%x^2%%) durch einen neuen Term (z.B. %%u%%) ersetzt.

%%u=x^2%%

%%f(u)=u^2-6u+5%%

Funktion gleich %%0%% setzen.

%%0=u^2-6u+5%%

$$u_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{(-6)^2-4\cdot1\cdot5}}{2\cdot1}$$

Unter der Wurzel zusammenfassen.

$$=\frac{6\pm\sqrt{36-20}}{2}=\frac{6\pm\sqrt{16}}{2}$$

$$=\frac{6\pm4}{2}$$

%%u_1=\frac{6+4}{2}=5%%

1) Fall: %%+%%

%%u_2=\frac{6-4}{2}=1%%

2) Fall: %%-%%

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

%%x_{1,2}^2=5%%

%%x_{1,2}=\pm\sqrt5%%

%%x_{3,4}^2=1%%

%%x_{3,4}=\pm\sqrt1=\pm1%%

Die Funktion hat 4 Nullstellen und zwar bei %%x_1=\sqrt5,\;x_2=-\sqrt5,\;x_3=1%% und %%x_4=-1%%.