%%f(x)=x^4-6x^2+5%%
Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.
%%f(x)=x^4-6x^2+5%%
Substitution
Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. %%x^2%%) durch einen neuen Term (z.B. %%u%%) ersetzt.
%%u=x^2%%
%%f(u)=u^2-6u+5%%
Funktion gleich %%0%% setzen.
%%0=u^2-6u+5%%
Mitternachtsformel anwenden.
$$u_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{(-6)^2-4\cdot1\cdot5}}{2\cdot1}$$
Unter der Wurzel zusammenfassen.
$$=\frac{6\pm\sqrt{36-20}}{2}=\frac{6\pm\sqrt{16}}{2}$$
$$=\frac{6\pm4}{2}$$
%%u_1=\frac{6+4}{2}=5%%
1) Fall: %%+%%
%%u_2=\frac{6-4}{2}=1%%
2) Fall: %%-%%
Resubstitution
Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.
%%x_{1,2}^2=5%%
%%x_{1,2}=\pm\sqrt5%%
%%x_{3,4}^2=1%%
%%x_{3,4}=\pm\sqrt1=\pm1%%
Die Funktion hat 4 Nullstellen und zwar bei %%x_1=\sqrt5,\;x_2=-\sqrt5,\;x_3=1%% und %%x_4=-1%%.
