Bilde von folgenden Funktionen die Ableitung mithilfe der Quotientenregel.

Zu text-exercise-group 6763:
Nish 2019-01-08 17:12:56
Bitte die Lösungen aller Teilaufgaben bei Gelegenheit nach den neuen Richtlinien für Aufgabenlösungen (http://de.serlo.org/90400) überarbeiten.

LG,
Nish
Alex_Lueckenhaus 2019-01-10 08:42:06
Hi Nish, zumindest die verlinkungen aus Überschriften habe ich rausgenommen und den ersten Satz hinzugefügt. Ich war mir aber nicht sicher ob es bei diesem Aufgabentyp auch einen Lösungssatz braucht.
Gruß Alex
Nish 2019-01-13 17:32:04
Vielen Dank, Alex! Lösungssatz braucht es mMn hier nicht unbedingt.
Man könnte hier vllt. die Lösung der Ableitung nochmal am Ende in einer Zeile aufschreiben, damit es einmal schön da steht.
Was man hier stattdessen auch machen könnte: Mit dem Befehl \phantom (siehe Latex-Richtlinie) die Gleichheitszeichen auf eine Ebene bringen. Ich habe es mir mal aufgeschrieben und mache es bei Gelegenheit, falls du es mal nicht ausprobieren möchtest ;)

Lösungssätze sind mMn v.a. wichtig, wenn die Schüler*innen verstanden haben sollten, was sie dort genau ausgerechnet oder bestimmt haben, also besonders bei (längeren) Sachaufgaben.

LG,
Nish

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$$f\left(x\right)=\frac{x^2}{2x+2}$$

Ableitung

Um diese Aufgabe bearbeiten zu können solltest du Ableitungen und vor allem die Quotientenregel beherrschen.

$$f(x)=\frac{x^2}{2x+2}$$

Wende die Quotientenregel an.

$$f^\prime(x)=\frac{(2x+2)\cdot 2x-x^2\cdot2}{(2x+2)^2}$$

Vereinfachen.

$$=\frac{4x^2+4x-2x^2}{(2x+2)^2}=\frac{2x^2+4x}{[2(x+1)]^2}=\frac{2x\cdot(x+2)}{4\cdot(x+1)^2}$$

$$=\frac{x\cdot(x+2)}{2\cdot(x+1)^2}$$

$$f\left(x\right)=\frac{2x+1}{2x-1}$$

Ableitung

Um diese Aufgabe lösen zu können solltest du dich mit Ableitungen und der Quotientenregel auskennen.

$$f(x)=\frac{2x+1}{2x-1}$$

Wende die Quotientenregel an.

$$f^\prime(x)=\frac{(2x-1)\cdot2-(2x+1)\cdot2}{(2x-1)^2}$$

Vereinfachen.

$$=\frac{2\cdot(2x-1-2x-1)}{(2x-1)^2}$$

$$=-\frac4{(2x-1)^2}$$

$$f\left(x\right)=\frac{2x+1}{\left(2x-1\right)^2}$$

Ableitung

Um diese Aufgabe lösen zu können solltest du Ableitungen beherrschen. Vor allem die Quotientenregel und die Kettenregel sind wichtig.

$$f(x)=\frac{2x+1}{(2x-1)^2}$$

Wende die Quotientenregel an.

Wende die Kettenregel auf %%\left(2x-1\right)^2%% an.

$$\small f^\prime(x)=\frac{(2x-1)^2\cdot2-(2x+1)\cdot2\cdot(2x-1)\cdot2}{[(2x-1)^2]^2}$$

%%(2x-1)%% ausklammern.

$$=\frac{(2x-1)\cdot[2\cdot(2x-1)-4\cdot(2x+1)]}{(2x-1)^4}=\frac{4x-2-8x-4}{(2x-1)^3}=\frac{-4x-6}{(2x-1)^3}$$

$$=-\frac{2\cdot(2x+3)}{(2x-1)^3}$$

$$f\left(x\right)=\frac{2x+3}{x^5}$$

Ableitung

Zum Lösen dieser Aufgabe ist es hilfreich Ableitungen und Quotientenregel zu können.

$$f(x)=\frac{2x+3}{x^5}$$

Wende die Quotientenregel an.

$$f^\prime(x)=\frac{x^5\cdot2-(2x+3)\cdot5x^4}{(x^5)^2}$$

Vereinfachen.

$$=\frac{2x^5-10x^5-15x^4}{x^{10}}=\frac{-8x^5-15x^4}{x^{10}}=\frac{x^4\cdot(-8x-15)}{x^{10}}$$

Faktorisiere $$-8x^5-15x^4$$ um $$x^{10}$$ kürzen zu können.

$$=-\frac{8x+15}{x^6}$$